5.35 ジョルダン標準形

行列 $A$ のある固有値 $\lambda$ の重複度が $m$ であるとする． 固有空間

$$W(\lambda)= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{(A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$$

が $\dim(W)<m$ のとき，行列 $A$ は対角化できない． このとき

$$W_m(\lambda)= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{(A-\lambda E)^m\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$$

で定義される一般固有空間を考える． $\forall x\in W$ に対して $(A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0}$ より

$$(A-\lambda E)^m\vec{x}= (A-\lambda E)^{m-1}(A-\lambda E)\vec{x}= (A-\lambda E)^{m-1}\vec{0}= \vec{0}$$

が成り立つので， $W\subset W_m$ である．

定理 5.121 (一般固有空間)   $W_m$ の基底で

$$(A-\lambda E)\vec{p}_1=\vec{0}, \qquad \vec{p}_1\in W_1,$$

$$(A-\lambda E)\vec{p}_2=\vec{p}_1, \qquad \vec{p}_2\in W_2, \qquad \vec{p}_2\not\in W_1,$$

$$(A-\lambda E)\vec{p}_3=\vec{p}_2, \qquad \vec{p}_3\in W_3, \qquad \vec{p}_3\not\in W_2,$$

$$\vdots\qquad \qquad\qquad\vdots\qquad\qquad\vdots$$

$$(A-\lambda E)\vec{p}_m=\vec{p}_{m-1}, \qquad \vec{p}_m\in W_m, \qquad \vec{p}_m\not\in W_{m-1}$$

をみたす基底 $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\cdots,\vec{p}_m\}$ が存在する．また， $\dim(W_m)=m$ が成り立つ．

行列 $A\in\mathbb{R}^{m\times m}$ に対しては，この定理より

$$A\vec{p}_1=\lambda\vec{p}_1, \quad A\vec{p}_2=\lambda\vec{p}_2+\v... ...c{p}_3+\vec{p}_2, \quad \cdots, \quad A\vec{p}_m=\lambda\vec{p}_m+\vec{p}_{m-1}$$

となり，

$$A \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_{n-1} & & \vec{p}_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda\vec{p}_1 & \lambda\vec{p}_2+\vec{p}_1 & \lambda\vec{p}_3+\vec{p}_2 & \cdots & \lambda\vec{p}_m+\vec{p}_{m-1} \end{bmatrix}$$

$$A \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_{m-1} & \vec{p}_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 & \cdots & \vec{p}_{m-1} &... ...bda & \ddots \\ [-1ex] & & & \ddots & 1 \\ [-1ex] & & & & \lambda \end{bmatrix}$$

$$AP =PJ$$

が成り立つ． 一般には次の定理が成り立つ．

定理 5.122   行列 $A$ は固有値

$$\overbrace{ \underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{m_1}, \under... ...ts,\lambda_2}_{m_2}, \cdots, \underbrace{\lambda_r,\cdots,\lambda_r}_{m_r}}^{n}$$

をもつとする． このとき $A$ はある正則行列 $P$ を用いて

$$D=P^{-1}AP,$$

$$D= \left. \begin{bmatrix}J(\lambda_1,m_1) \\ & J(\lambda_2,m_2) \\ & & \ddots \\ & & & J(\lambda_r,m_r) \end{bmatrix}\right\}n,$$

$$J(\lambda,m)= \left. \begin{bmatrix}\lambda & 1 \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{bmatrix} \right\}m$$

の形にブロック対角化される． $D$ をジョルダン標準形（Jordan canonical form）という． ここで $J(\lambda,m)$ を ジョルダンブロック（Jordan block）または ジョルダン細胞（Jordan cell）という．

例 5.123 (ジョルダン標準形の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}1 & 3 & 2 \\ 0 &-1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

を対角化する．

$$\det(\lambda E-A)= \begin{vmatrix}\lambda-1 & -3 & -2 \\ 0 & \lambda+1 & 0 \\ -1 & -2 & \lambda \end{vmatrix} = (\lambda+1)^2(\lambda-2)$$

より，固有値は $2,\,\,-1\,($2 重$)$ となる． $\lambda=2$ のとき，

$$A-2E= \begin{bmatrix}-1 & 3 & 2 \\ 0 &-3 & 0 \\ 1 & 2 &-2 \end{bm... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 &-2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となるので， $(A-2E)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}2x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{b... ...matrix} = c \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_1 \qquad(c\neq0)$$

と得られる． $\lambda=-1$ のとき，

$$A+E= \begin{bmatrix}2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmat... ...{簡約化}}\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となるので， $(A+E)\vec{x}=\vec{0}$ を解いて 固有ベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-x_3 \\ 0 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{b... ...atrix} = c \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} =c\vec{p}_2 \qquad(c\neq0)$$

と得られる． $\dim(W(-1))=1$ であり対角化できない． $(A+E)^2\vec{x}=\vec{0}$ の解空間である 一般固有空間 $W_2(-1)$ を考える． このとき，

$$[A+E\,\,\vert\,\,\vec{p}_2] = \begin{bmatrix}2 & 3 & 2 & -1 \\ 0 ... ...d \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

より， $(A+E)\vec{x}=\vec{p}_2$ を解いて

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}-5-x_3 \\ 3 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin... ...\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \vec{p}_3+c\vec{p}_2 \qquad(c\neq0)$$

となるので， $(A+E)^2\vec{p}_3=\vec{0}$, $(A+E)\vec{p}_3=\vec{p}_2$ をみたす 一般固有ベクトル $\vec{p}_3$ が得られる． このとき $A$ はジョルダン標準形に

$$D=P^{-1}AP, \qquad D= \begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0... ...d{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

と分解される．

問 5.124 (ジョルダン標準形)   数値を代入し $D=P^{-1}AP$ が成り立つことを確認せよ．

問 5.125 (ジョルダン標準形)  

$$J= \begin{bmatrix}\lambda & 1 \\ [-1ex] & \lambda & \ddots \\ [-1ex] & & \ddots & 1 \\ [-1ex] & & & \lambda \end{bmatrix}$$

に対して

$$J^k= \begin{bmatrix}\lambda^k & k\lambda^{k-1} \\ [-1ex] & \lambd... ...s \\ [-1ex] & & \ddots & k\lambda^{k-1} \\ [-1ex] & & & \lambda^k \end{bmatrix}$$

が成り立つことを示せ．

平成20年2月2日