6.1 2 次曲線

$\mathbb{R}^2$ 内の曲線 $F(x,y)=0$ を考える． 1 次式

$$F(x,y)=ax+by+c=0$$

で与えられる曲線は直線である． 2 次式

$$F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$

で与えられる曲線を2 次曲線という．

例 6.1 (放物線の例)   放物線は 2 次曲線である． これを放物形という．

• $y$ 軸に対称な放物線 $y=x^2$ は $F=x^2-y=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• $x$ 軸に対称な放物線 $x=y^2$ は $F=y^2-x=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• 2 次曲線 $F=x^2-2xy+y^2-x-y=0$ で与えられる曲線は 直線 $y=x$ に対称な放物線である． この放物線は曲線 $x=y^2$ を $\pi/4$ 回転させたものであるから， $x=(x'+y')/\sqrt{2}$, $y=(-x'+y')/\sqrt{2}$ とし $(x',y')$ を $(x,y)$ に置き換えれば 導出される．

例 6.2 (楕円の例)   楕円は 2 次曲線である． これを楕円形という．

• 楕円 $x^2/4+y^2/9=1$ は $F=9x^2+4y^2-36=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• 楕円 $x^2+y^2/4=1$ は $F=4x^2+y^2-4=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• 2 次曲線 $F=5x^2+5y^2+6xy-4=0$ で与えられる曲線は楕円である． この楕円は楕円 $x^2+y^2/4=1$ を $\pi/4$ 回転させたものと等しい．

例 6.3 (双曲線の例)   双曲線は 2 次曲線である． これを双曲形という．

• 双曲線 $x^2-y^2=1$ は $F=x^2-y^2-1=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• 双曲線 $x^2-y^2/4=-1$ は $F=4x^2-y^2+4=0$ と 表されるので 2 次曲線である．
• 2 次曲線 $F=3x^2+3y^2+10xy+4=0$ で与えられる曲線は双曲線である． この双曲線は双曲線 $x^2-y^2/4=-1$ を $\pi/4$ 回転させたものと等しい．

平成20年2月2日