6.2 2 次曲線の中心

$\displaystyle F(x,y)$	$\displaystyle = \alpha\,x^2+2\beta\,xy+\gamma\,y^2+ b_1\,x+b_2y+c$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha & \bet... ...+ \begin{bmatrix}b_1 & b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} +c$
	$\displaystyle = {\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+c=F(\vec{x}),$
$\displaystyle \vec{x}$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}, \quad A= \begin{bmatrix}\a... ... & \gamma \end{bmatrix}, \quad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$

定理 6.5 ( 2 次曲線の中心) 2 次曲線 $F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+c$ に中心が存在するための必要十分条件は，が正則であることである．

（証明）曲線がある点に関して点対称であるための必要十分条件は，すべての上の点 $\vec{x}=\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}$ に対して， $\vec{x}_0-\tilde{\vec{x}}$ も上の点となるような $\vec{x}_0$ が一意に存在ことである．すなわち，

0	$\displaystyle =F(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})= {(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})}^{T}A(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+ {\vec{b}}^{T}(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+c$
	$\displaystyle = {\vec{x}_0}^{T}A\vec{x}_0+ {\vec{x}_0}^{T}A\tilde{\vec{x}}+ {\t... ...}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+ {\vec{b}}^{T}\vec{x}_0+ {\vec{b}}^{T}\tilde{\vec{x}}+c$

に対して，

	$\displaystyle F(\vec{x}_0-\tilde{\vec{x}})= {(\vec{x}_0-\tilde{\vec{x}})}^{T}A(\vec{x}_0-\tilde{\vec{x}})+ {\vec{b}}^{T}(\vec{x}_0-\tilde{\vec{x}})+c$
	$\displaystyle \quad= {\vec{x}_0}^{T}A\vec{x}_0- {\vec{x}_0}^{T}A\tilde{\vec{x}}... ...}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+ {\vec{b}}^{T}\vec{x}_0- {\vec{b}}^{T}\tilde{\vec{x}}+c$
	$\displaystyle \quad= -2{\vec{x}_0}^{T}A\tilde{\vec{x}} -2{\tilde{\vec{x}}}^{T}A... ...vec{x}}}\right) = -2\left({2A\vec{x}_0+\vec{b}}\,,\,{\tilde{\vec{x}}}\right) =0$

をみたす $\vec{x}_0$ が一意に存在することである．任意の $\tilde{\vec{x}}$ に対して成立するためには $2A\vec{x}_0+\vec{b}=\vec{0}$ でなければならない．よって $\displaystyle{A\vec{x}_0=-\frac{1}{2}\vec{b}}$ を得る．この方程式で解 $\vec{x}_0$ が一意に存在するための必要十分条件はが正則となることである．