6.3 2 次曲線の平行移動

定理 6.8 (2 次曲線の平行移動) 有心 2 次曲線

$\displaystyle F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+c=0$

は平行移動 $\vec{x}=\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}$ により，

$\displaystyle F$

$\displaystyle ={\tilde{\vec{x}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+\tilde{c} = \alpha\,\tilde{x}^2+ 2\beta\,\tilde{x}\tilde{y}+ \gamma\,\tilde{y}^2+ \tilde{c}=0$

と表される．

（証明） 2 次曲線は

$\displaystyle F=(\vec{x},A\vec{x})+(\vec{b},\vec{x})+c$

と表される．これに $\vec{x}=\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}$ を代入すると

$\displaystyle F$	$\displaystyle = (\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}},A(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}))+ (\vec{b},\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+ c$
	$\displaystyle = (\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}},A\vec{x}_0+A\tilde{\vec{x}})+ (\vec{b},\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+c$
	$\displaystyle = (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{x}_0,A\tilde{\vec{x}})+ (\tilde{\... ...e{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ (\vec{b},\tilde{\vec{x}})+ c$
	$\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ \{ (\vec{x}_0,A\tilde{\vec{... ...\vec{b},\tilde{\vec{x}})\}+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$

となる．ここで一般に

$\displaystyle (\vec{x},A\vec{y})= {\vec{x}}^{T}(A\vec{y})= {({A}^{T}\vec{x})}^{T}\vec{y}= ({A}^{T}\vec{x},\vec{y})= ({A}^{T}\vec{x},\vec{y})$

となるので，

$\displaystyle F$	$\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ \{ ({A}^{T}\vec{x}_0,\tilde... ...\vec{b},\tilde{\vec{x}})\}+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$
	$\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ ({A}^{T}\vec{x}_0+A\vec{x}_0+\vec{b},\tilde{\vec{x}})+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$
	$\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ (\tilde{\vec{b}},\tilde{\vec{x}})+ \tilde{c}$
	$\displaystyle = {\tilde{\vec{x}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+ {\tilde{\vec{b}}}^{T}\tilde{\vec{x}}+ \tilde{c}$