6.3 2 次曲線の平行移動

定理 6.8 (2 次曲線の平行移動)   有心 2 次曲線

$\displaystyle F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+c=0$    

は平行移動 $ \vec{x}=\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}$ により,

$\displaystyle F$ $\displaystyle ={\tilde{\vec{x}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+\tilde{c} = \alpha\,\tilde{x}^2+ 2\beta\,\tilde{x}\tilde{y}+ \gamma\,\tilde{y}^2+ \tilde{c}=0$    

と表される.


(証明)     2 次曲線は

$\displaystyle F=(\vec{x},A\vec{x})+(\vec{b},\vec{x})+c$    

と表される. これに $ \vec{x}=\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}$ を代入すると

$\displaystyle F$ $\displaystyle = (\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}},A(\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}}))+ (\vec{b},\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+ c$    
  $\displaystyle = (\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}},A\vec{x}_0+A\tilde{\vec{x}})+ (\vec{b},\vec{x}_0+\tilde{\vec{x}})+c$    
  $\displaystyle = (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{x}_0,A\tilde{\vec{x}})+ (\tilde{\...
...e{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ (\vec{b},\tilde{\vec{x}})+ c$    
  $\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ \{ (\vec{x}_0,A\tilde{\vec{...
...\vec{b},\tilde{\vec{x}})\}+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$    

となる.ここで一般に

$\displaystyle (\vec{x},A\vec{y})= {\vec{x}}^{T}(A\vec{y})= {({A}^{T}\vec{x})}^{T}\vec{y}= ({A}^{T}\vec{x},\vec{y})= ({A}^{T}\vec{x},\vec{y})$    

となるので,

$\displaystyle F$ $\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ \{ ({A}^{T}\vec{x}_0,\tilde...
...\vec{b},\tilde{\vec{x}})\}+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$    
  $\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ ({A}^{T}\vec{x}_0+A\vec{x}_0+\vec{b},\tilde{\vec{x}})+ \{ (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c\}$    
  $\displaystyle = (\tilde{\vec{x}},A\tilde{\vec{x}})+ (\tilde{\vec{b}},\tilde{\vec{x}})+ \tilde{c}$    
  $\displaystyle = {\tilde{\vec{x}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+ {\tilde{\vec{b}}}^{T}\tilde{\vec{x}}+ \tilde{c}$    

と表される. ただし,

$\displaystyle \tilde{\vec{b}}= {A}^{T}\vec{x}_0+A\vec{x}_0+\vec{b}, \qquad \tilde{c}= (\vec{x}_0,A\vec{x}_0)+ (\vec{b},\vec{x}_0)+ c$    

とおいた. $ \tilde{\vec{b}}=\vec{0}$ とおく. $ A={A}^{T}$ であることと $ A$ が正則であることに注意すると,

$\displaystyle 2A\vec{x}_0+\vec{b}=\vec{0}$    

より,中心は

$\displaystyle \vec{x}_0=-\frac{1}{2}A^{-1}\vec{b}$    

と得られる. 以上より, 平行移動 $ \vec{x}=\tilde{\vec{x}}-A^{-1}\vec{b}/2$ により 中心は原点に移り, 2 次曲線は $ F={\tilde{\vec{x}}}^{T}A\tilde{\vec{x}}+\tilde{c}$ となる.


平成20年2月2日