6.4 2 次曲線の標準形

定理 6.9 (2 次曲線の標準形)   原点を中心とする有心 2 次曲線

$\displaystyle F=\alpha\,x^2+2\beta\,xy+\gamma\,y^2+c=0$    

は回転変換で標準形

$\displaystyle F=\tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\gamma}\,\tilde{y}^2+c=0$    

に写される.


(証明)     2 次曲線

$\displaystyle F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+c$    

の係数 $ A$ は対称行列なので直交行列 $ R$ により対角化される. すなわち,

$\displaystyle D=R^{-1}AR={R}^{T}AR, \qquad D= \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0...
...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$    

が成り立つ. これより,

$\displaystyle A=RD{R}^{T}$    

であることを用いると,

$\displaystyle F$ $\displaystyle = {\vec{x}}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}+c= {({\vec{x}}^{T}R)}^{T}D({R}^{T}\vec{x})+c= {\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+c$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}\tilde{x} & \tilde{y} \end{bmatrix} \begin{bmatr...
...a_2\,\tilde{y}^2+ c= \tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\beta}\,\tilde{y}^2+ c$    

となる. ただし, $ \tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$, $ \tilde{\alpha}=\lambda_1$, $ \tilde{\beta}=\lambda_2$ とおく.

定理 6.10 ( 2 次曲線の分類)   2 次曲線 $ F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+c$$ \det(A)>0$ のとき楕円形であり, $ \det(A)<0$ のとき双曲形であり, $ \det(A)=0$ のとき放物形である.


(証明)    

$\displaystyle \det(A)=\det(RD{R}^{T})=\det(D)=\lambda_1\lambda_2=\tilde{\alpha}\tilde{\beta}$    

$\displaystyle F=\tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\gamma}\,\tilde{y}^2+c=0$    

より分類される.

6.11 ( 2 次曲線のグラフの具体例)   2 次曲線

$\displaystyle F$ $\displaystyle =x^2+2\sqrt{3}xy-y^2-2=0$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} -2$    
  $\displaystyle = {\vec{x}}^{T}A\vec{x}-2$    

のグラフを描く. まず,

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{vmatrix} = -1-2\sqrt{3}<0$    

より,$ F=0$ は双曲形である. 次に $ A$ を直交行列 $ R$ で対角化すると,

$\displaystyle {R}^{T}AR=D, \qquad D= \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatri...
...{6} & -\sin\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$    

である. $ A=RD{R}^{T}$ より

$\displaystyle F= {\vec{x}}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}-2= {({R}^{T}\vec{x})}^{T}D({R}...
...}2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \tilde{\vec{x}}-2= 2\tilde{x}^2-2\tilde{y}^2-2=0$    

と標準形を得る. ただし, $ \tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$ とおく. よって $ \tilde{x}\tilde{y}$ 軸の 2 次曲線は双曲線

$\displaystyle \tilde{x}^2-\tilde{y}^2=1$    

となる. $ \vec{x}=R\tilde{\vec{x}}$ より $ xy$ 軸では $ \pi/6$ 回転したグラフである.

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{soukyokusen.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{soukyokusen-R.eps}
(a) $ \tilde{x}\tilde{y}$ 座標 (b) $ xy$ 座標

6.12 ( 2 次曲線のグラフの具体例)   2 次曲線

$\displaystyle ($$\displaystyle )\qquad F$ $\displaystyle =8x^2+4xy+5y^2+8x-16y-16$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}8 & 2 \\ 2 & ...
... + \begin{bmatrix}8 & -16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} -16$    
  $\displaystyle = {\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}-16=0$    

のグラフを描く. まず,

$\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix}8 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 36>0$    

より,$ F=0$ は楕円形である. 有心であるから中心 $ (x_0,y_0)$ を求める. $ x=x'+x_0$, $ y=y'+y_0$ とおき平行移動する. $ F=0$ へ代入すると,

  $\displaystyle F=8x'^2+4x'y'+5y'^2+ (16x_0+4y_0+8)x+(4x_0+10y_0-16)y$    
  $\displaystyle \qquad +(8x_0^2+4x_0y_0+5y_0^2+8x_0-16y_0-16)=0$    

となる. $ x$, $ y$ の項が消えるとき, 原点が中心となるので,$ x_0$, $ y_0$ は 連立方程式

$\displaystyle 16x_0+4y_0+8=0, \qquad 4x_0+10y_0-16=0$    

をみたさなければならない. この方程式は $ 2A\vec{x}_0=-\vec{b}$ とも書けるので, 中心 $ (x_0,y_0)$ の位置ベクトルは

$\displaystyle \vec{x}_0= -\frac{1}{2}A^{-1}\vec{b} = -\frac{1}{2} \begin{bmatri...
...x} \begin{bmatrix}8 \\ -16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}$    

と得られる. あらためて

$\displaystyle x=x'-1, \qquad y=y'+2$    

とおき, 座標 $ (x',y')$ について書き直すと,

$\displaystyle F$ $\displaystyle =8{x'}^2+4x'y'+5{y'}^2-36={\vec{x}'}^{T}A\vec{x}'-36=0$    

と表される. 次に行列 $ A$ の固有値は $ 9,4$ であり, 直交行列 $ R$ で対角化すると,

$\displaystyle {R}^{T}AR=D, \qquad D= \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix...
...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$    

である. ここで, $ \cos\theta=1/\sqrt{5}$, $ \sin\theta=-2/\sqrt{5}$ より, $ \theta=\tan^{-1}(-2)$ である. $ \vert\tan\theta\vert=2>\sqrt{3}$ より $ R$ は負の方向に $ \pi/3$ より少し大きく回転させる. $ A=RD{R}^{T}$ より

$\displaystyle F$ $\displaystyle = {\vec{x}'}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}'-36= {({R}^{T}\vec{x}')}^{T}D(...
...de{\vec{x}}}^{T} \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \tilde{\vec{x}}-36$    
  $\displaystyle = 4\tilde{x}^2+9\tilde{y}^2-36=0$    

と標準形が得られる. ここで $ \tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}'$ とおいた. $ \tilde{x}\tilde{y}$ 軸平面では 2 次曲線は

$\displaystyle \left(\frac{\tilde{x}}{3}\right)^2+ \left(\frac{\tilde{y}}{2}\right)^2=1$    

となる. これは中心が原点の楕円形である. この曲線を $ x'y'$ 軸平面に戻す. $ \vec{x}'=R\tilde{\vec{x}}$ であるから, 時計回りに角 $ \theta$ の回転させたグラフを $ x'y'$ 軸平面に描く. さらに平行移動 $ \vec{x}=\vec{x}'+\vec{x}_0$ より, 楕円の中心が $ (-1,2)$ となるように $ xy$ 軸平面にグラフを描く.

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{daen.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{daen-R.eps}
(a) $ \tilde{x}\tilde{y}$ 座標 (b) $ x'y'$ 座標
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{daen-RS.eps}  
(c) $ xy$ 座標  

6.13 (放物形)   2 次曲線

$\displaystyle F$ $\displaystyle =x^2-2xy+y^2-6x-2y+25= {\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+25 =0$    

のグラフを書く. まず,

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}-6 \\ -2 \end{bmatrix}$    

とおく. $ \det(A)=0$ より $ F=0$ は放物形である. $ A$ は無心曲線であるから中心はない. $ A$ を対角化すると,

$\displaystyle {R}^{T}AR=D= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \qquad ...
...{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$    

となる. $ A=RD{R}^{T}$$ F=0$ に代入すると

$\displaystyle F$ $\displaystyle ={\vec{x}}^{T}RD{R}^{T}\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+25= {({R}^{T}\vec{x})}^{T}D({R}^{T}\vec{x})+ ({\vec{b}}^{T}R)({R}^{T}\vec{x})+25$    
  $\displaystyle = {\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+ {({R}^{T}\vec{b})}^{T}\t...
...\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+ {\tilde{\vec{b}}}^{T}\tilde{\vec{x}}+25=0$    

となる. ここで $ \tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$, $ \tilde{\vec{b}}={R}^{T}\vec{b}$ とおいた.

$\displaystyle \tilde{\vec{b}}={R}^{T}\vec{b}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix...
...matrix}-6 \\ -2 \end{bmatrix} = -2\sqrt{2} \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}$    

より,2 次曲線は

$\displaystyle F=2\tilde{y}^2-2\sqrt{2}(2\tilde{x}-\tilde{y})+25=0$    

となる. 書き直すと

$\displaystyle \tilde{x}= \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\tilde{y}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+3\sqrt{2}$    

となる. これは頂点が $ \displaystyle{\left(3\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$ の放物線である. また,この放物線は 直線 $ \displaystyle{\tilde{y}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ に線対称であり, 直線 $ \tilde{x}=3\sqrt{2}$ に接している. $ \vec{x}=R\tilde{\vec{x}}$ を用いて $ \displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ 回転すると $ (x,y)$ に関する曲線に戻る. 頂点は

$\displaystyle \vec{x}_0=R\tilde{\vec{x}}_0= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1...
...ac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}7 \\ 5 \end{bmatrix}$    

より $ \displaystyle{\left(\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)}$ となる. また, $ \tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$ より, $ \displaystyle{\tilde{y}=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}}$ $ \displaystyle{\tilde{y}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ に代入すると, $ x-y=1$ となる. $ \tilde{x}=3\sqrt{2}$ $ \displaystyle{\tilde{x}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}}$ を代入すると, $ x+y=6$ となる. よって $ F=0$ は 頂点が $ (7/2,5/2)$ の放物形で, 直線 $ x-y=1$, $ x+y=6$ を軸とする放物線である.


平成20年2月2日