6.4 2 次曲線の標準形
定理 6.9 (2 次曲線の標準形) 原点を中心とする有心 2 次曲線
は回転変換で標準形
に写される.
(証明) 2 次曲線
の係数は対称行列なので直交行列
により対角化される. すなわち,
が成り立つ. これより,
であることを用いると,
となる. ただし,,
,
とおく.
定理 6.10 ( 2 次曲線の分類) 2 次曲線は
のとき楕円形であり,
のとき双曲形であり,
のとき放物形である.
(証明)
と
より分類される.
例 6.11 ( 2 次曲線のグラフの具体例) 2 次曲線
のグラフを描く. まず,
より,は双曲形である. 次に
を直交行列
で対角化すると,
である.より
と標準形を得る. ただし,とおく. よって
軸の 2 次曲線は双曲線
となる.より
軸では
回転したグラフである.
(a) 座標
(b) 座標
例 6.12 ( 2 次曲線のグラフの具体例) 2 次曲線
☆
のグラフを描く. まず,
より,は楕円形である. 有心であるから中心
を求める.
,
とおき平行移動する.
へ代入すると,
となる.,
の項が消えるとき, 原点が中心となるので,
,
は 連立方程式
をみたさなければならない. この方程式はとも書けるので, 中心
の位置ベクトルは
と得られる. あらためて
とおき, 座標について書き直すと,
と表される. 次に行列の固有値は
であり, 直交行列
で対角化すると,
である. ここで,,
より,
である.
より
は負の方向に
より少し大きく回転させる.
より
と標準形が得られる. ここでとおいた.
軸平面では 2 次曲線は
となる. これは中心が原点の楕円形である. この曲線を軸平面に戻す.
であるから, 時計回りに角
の回転させたグラフを
軸平面に描く. さらに平行移動
より, 楕円の中心が
となるように
軸平面にグラフを描く.
(a) 座標
(b) 座標
(c) 座標
例 6.13 (放物形) 2 次曲線
のグラフを書く. まず,
とおく.より
は放物形である.
は無心曲線であるから中心はない.
を対角化すると,
となる.を
に代入すると
となる. ここで,
とおいた.
より,2 次曲線は
となる. 書き直すと
となる. これは頂点がの放物線である. また,この放物線は 直線
に線対称であり, 直線
に接している.
を用いて
回転すると
に関する曲線に戻る. 頂点は
よりとなる. また,
より,
を
に代入すると,
となる.
に
を代入すると,
となる. よって
は 頂点が
の放物形で, 直線
,
を軸とする放物線である.
平成20年2月2日