6.4 2 次曲線の標準形

定理 6.9 (2 次曲線の標準形)   原点を中心とする有心 2 次曲線

$$F=\alpha\,x^2+2\beta\,xy+\gamma\,y^2+c=0$$

は回転変換で標準形

$$F=\tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\gamma}\,\tilde{y}^2+c=0$$

に写される．

（証明）     2 次曲線

$$F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+c$$

の係数 $A$ は対称行列なので直交行列 $R$ により対角化される． すなわち，

$$D=R^{-1}AR={R}^{T}AR, \qquad D= \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0... ...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

が成り立つ． これより，

$$A=RD{R}^{T}$$

であることを用いると，

$$F = {\vec{x}}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}+c= {({\vec{x}}^{T}R)}^{T}D({R}^{T}\vec{x})+c= {\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+c$$

$$= \begin{bmatrix}\tilde{x} & \tilde{y} \end{bmatrix} \begin{bmatr... ...a_2\,\tilde{y}^2+ c= \tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\beta}\,\tilde{y}^2+ c$$

となる． ただし， $\tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$, $\tilde{\alpha}=\lambda_1$, $\tilde{\beta}=\lambda_2$ とおく．

定理 6.10 ( 2 次曲線の分類)   2 次曲線 $F={\vec{x}}^{T}A\vec{x}+c$ は $\det(A)>0$ のとき楕円形であり， $\det(A)<0$ のとき双曲形であり， $\det(A)=0$ のとき放物形である．

（証明）    

$$\det(A)=\det(RD{R}^{T})=\det(D)=\lambda_1\lambda_2=\tilde{\alpha}\tilde{\beta}$$

と

$$F=\tilde{\alpha}\,\tilde{x}^2+ \tilde{\gamma}\,\tilde{y}^2+c=0$$

より分類される．

例 6.11 ( 2 次曲線のグラフの具体例)   2 次曲線

$$F =x^2+2\sqrt{3}xy-y^2-2=0$$

$$= \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} -2$$

$$= {\vec{x}}^{T}A\vec{x}-2$$

のグラフを描く． まず，

$$\det(A)= \begin{vmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{vmatrix} = -1-2\sqrt{3}<0$$

より，$F=0$ は双曲形である． 次に $A$ を直交行列 $R$ で対角化すると，

$${R}^{T}AR=D, \qquad D= \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatri... ...{6} & -\sin\frac{\pi}{6} \\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} \end{bmatrix}$$

である． $A=RD{R}^{T}$ より

$$F= {\vec{x}}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}-2= {({R}^{T}\vec{x})}^{T}D({R}... ...}2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \tilde{\vec{x}}-2= 2\tilde{x}^2-2\tilde{y}^2-2=0$$

と標準形を得る． ただし， $\tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$ とおく． よって $\tilde{x}\tilde{y}$ 軸の 2 次曲線は双曲線

$$\tilde{x}^2-\tilde{y}^2=1$$

となる． $\vec{x}=R\tilde{\vec{x}}$ より $xy$ 軸では $\pi/6$ 回転したグラフである．

(a) $\tilde{x}\tilde{y}$ 座標	(b) $xy$ 座標

例 6.12 ( 2 次曲線のグラフの具体例)   2 次曲線

$$( )\qquad F =8x^2+4xy+5y^2+8x-16y-16 = \begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix}8 & 2 \\ 2 & ... ... + \begin{bmatrix}8 & -16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} -16$$

$$= {\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}-16=0$$

のグラフを描く． まず，

$$\det(A)= \begin{vmatrix}8 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 36>0$$

より，$F=0$ は楕円形である． 有心であるから中心 $(x_0,y_0)$ を求める． $x=x'+x_0$, $y=y'+y_0$ とおき平行移動する． $F=0$ へ代入すると，

$$F=8x'^2+4x'y'+5y'^2+ (16x_0+4y_0+8)x+(4x_0+10y_0-16)y$$

$$\qquad +(8x_0^2+4x_0y_0+5y_0^2+8x_0-16y_0-16)=0$$

となる． $x$, $y$ の項が消えるとき， 原点が中心となるので，$x_0$, $y_0$ は 連立方程式

$$16x_0+4y_0+8=0, \qquad 4x_0+10y_0-16=0$$

をみたさなければならない． この方程式は $2A\vec{x}_0=-\vec{b}$ とも書けるので， 中心 $(x_0,y_0)$ の位置ベクトルは

$$\vec{x}_0= -\frac{1}{2}A^{-1}\vec{b} = -\frac{1}{2} \begin{bmatri... ...x} \begin{bmatrix}8 \\ -16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

と得られる． あらためて

$$x=x'-1, \qquad y=y'+2$$

とおき， 座標 $(x',y')$ について書き直すと，

$$F =8{x'}^2+4x'y'+5{y'}^2-36={\vec{x}'}^{T}A\vec{x}'-36=0$$

と表される． 次に行列 $A$ の固有値は $9,4$ であり， 直交行列 $R$ で対角化すると，

$${R}^{T}AR=D, \qquad D= \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix... ...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

である． ここで， $\cos\theta=1/\sqrt{5}$, $\sin\theta=-2/\sqrt{5}$ より， $\theta=\tan^{-1}(-2)$ である． $\vert\tan\theta\vert=2>\sqrt{3}$ より $R$ は負の方向に $\pi/3$ より少し大きく回転させる． $A=RD{R}^{T}$ より

$$F = {\vec{x}'}^{T}(RD{R}^{T})\vec{x}'-36= {({R}^{T}\vec{x}')}^{T}D(... ...de{\vec{x}}}^{T} \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \tilde{\vec{x}}-36$$

$$= 4\tilde{x}^2+9\tilde{y}^2-36=0$$

と標準形が得られる． ここで $\tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}'$ とおいた． $\tilde{x}\tilde{y}$ 軸平面では 2 次曲線は

$$\left(\frac{\tilde{x}}{3}\right)^2+ \left(\frac{\tilde{y}}{2}\right)^2=1$$

となる． これは中心が原点の楕円形である． この曲線を $x'y'$ 軸平面に戻す． $\vec{x}'=R\tilde{\vec{x}}$ であるから， 時計回りに角 $\theta$ の回転させたグラフを $x'y'$ 軸平面に描く． さらに平行移動 $\vec{x}=\vec{x}'+\vec{x}_0$ より， 楕円の中心が $(-1,2)$ となるように $xy$ 軸平面にグラフを描く．

(a) $\tilde{x}\tilde{y}$ 座標	(b) $x'y'$ 座標
(c) $xy$ 座標

例 6.13 (放物形)   2 次曲線

$$F =x^2-2xy+y^2-6x-2y+25= {\vec{x}}^{T}A\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+25 =0$$

のグラフを書く． まず，

$$A= \begin{bmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}-6 \\ -2 \end{bmatrix}$$

とおく． $\det(A)=0$ より $F=0$ は放物形である． $A$ は無心曲線であるから中心はない． $A$ を対角化すると，

$${R}^{T}AR=D= \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \qquad ... ...{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$$

となる． $A=RD{R}^{T}$ を $F=0$ に代入すると

$$F ={\vec{x}}^{T}RD{R}^{T}\vec{x}+{\vec{b}}^{T}\vec{x}+25= {({R}^{T}\vec{x})}^{T}D({R}^{T}\vec{x})+ ({\vec{b}}^{T}R)({R}^{T}\vec{x})+25$$

$$= {\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+ {({R}^{T}\vec{b})}^{T}\t... ...\tilde{\vec{x}}}^{T}D\tilde{\vec{x}}+ {\tilde{\vec{b}}}^{T}\tilde{\vec{x}}+25=0$$

となる． ここで $\tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$, $\tilde{\vec{b}}={R}^{T}\vec{b}$ とおいた．

$$\tilde{\vec{b}}={R}^{T}\vec{b}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix... ...matrix}-6 \\ -2 \end{bmatrix} = -2\sqrt{2} \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

より，2 次曲線は

$$F=2\tilde{y}^2-2\sqrt{2}(2\tilde{x}-\tilde{y})+25=0$$

となる． 書き直すと

$$\tilde{x}= \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\tilde{y}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+3\sqrt{2}$$

となる． これは頂点が $${\left(3\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}$$ の放物線である． また，この放物線は 直線 $${\tilde{y}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ に線対称であり， 直線 $\tilde{x}=3\sqrt{2}$ に接している． $\vec{x}=R\tilde{\vec{x}}$ を用いて $${\frac{\pi}{4}}$$ 回転すると $(x,y)$ に関する曲線に戻る． 頂点は

$$\vec{x}_0=R\tilde{\vec{x}}_0= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1... ...ac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix}7 \\ 5 \end{bmatrix}$$

より $${\left(\frac{7}{2},\frac{5}{2}\right)}$$ となる． また， $\tilde{\vec{x}}={R}^{T}\vec{x}$ より， $${\tilde{y}=\frac{-x+y}{\sqrt{2}}}$$ を $${\tilde{y}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ に代入すると， $x-y=1$ となる． $\tilde{x}=3\sqrt{2}$ に $${\tilde{x}=\frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ を代入すると， $x+y=6$ となる． よって $F=0$ は 頂点が $(7/2,5/2)$ の放物形で， 直線 $x-y=1$, $x+y=6$ を軸とする放物線である．

平成20年2月2日