6.5 分類外の 2 次曲線

まとめ 6.14 (2 次曲線の分類)   2 次曲線は楕円，双曲線，放物線以外のグラフもありうる． 標準形の形で次のように分類される：

• $\det(A)>0$
  • 楕円： $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$$．
  • 点楕円： $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0}$$．原点のみの楕円形．
  • 虚の楕円： $${\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1} \Leftrightarrow \displaystyle{\frac{x^2}{(ia)^2}+\frac{y^2}{(ib)^2}=1}$$, $\mathbb{R}^2$ ではグラフは存在しない．
• $\det(A)<0$
  • 双曲線： $${\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1}$$．
  • 交わる 2 つの直線： $${\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0} \Leftrightarrow (bx-ay)(bx+ay)=0$$, 2 つの直線．
• $\det(A)=0$
  • 放物線： $y=ax^2+bx+c$ または $x=ay^2+by+c$．
  • $(\alpha x+\gamma y)^2+b(\alpha x+\gamma y)+c=0$ の形となるとき．
    • 平行な 2 つの直線： $x^2=c>0$ または $y^2=c>0$．
    • 重なった 1 つの直線： $x^2=0$ または $y^2=0$．
    • 虚の平行 2 直線： $x^2=c<0$ または $y^2=c<0$．

注意 6.15 (交わる 2 直線)   2 次曲線

$$F=x^2-5xy+4y^2+x+2y-2=0$$

は $\det(A)=-9/4<0$ より双曲形であるが，

$$F= (x-y-1)(x-4y+2)=0$$

と因数分解されるので， $F=0$ は 2 つの直線

$$x-y-1=0, \qquad x-4y+2=0$$

を表す．

注意 6.16 (平行 2 直線)   2 次曲線

$$F=x^2-2xy+y^2+6x-6y+5=0$$

は $\det(A)=0$ より無心 2 次曲線であるが，

$$F=(x-y)^2+6(x-y)+5=(x-y+5)(x-y+1)$$

と因数分解されるので，2 つの平行な直線を表す．

注意 6.17 (虚の直線)   2 次曲線 $F=x^2+1=0$ は $\det(A)=0$ より無心 2 次曲線であるが， $F=(x+i)(x-i)=0$ と書けるから， 2 つの虚の直線を表す． よって，実数の範囲内ではグラフは存在しない．

平成20年2月2日