2.1 数ベクトル空間

定義 2.1 ($n$ 次元実ベクトル空間)   要素が実数の列ベクトル全体の集合

$$\mathbb{R}^{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ ... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

に次の演算(i)スカラー倍（scalar product）, (ii)ベクトルの和が定義されているとき， $\mathbb{R}^{n}$ を $n$ 次元実ベクトル空間 （$n$-dimensional real vector space）という．

(i) $${\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n}}$$， $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して， $${ \alpha\vec{a}= \begin{bmatrix} \alpha a_{1} \\ \alpha a_{2} \\ \vdots \\ \alpha a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n} }$$.

(ii) $${ \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end... ...gin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n} }$$ に対して， $${ \vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix} a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{n} }$$.

定義 2.2 ($n$ 次元複素ベクトル空間)   要素が複素数の列ベクトル全体の集合

$$\mathbb{C}^{n}= \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ ... ...d{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}$$

に次の演算(i)スカラー倍， (ii)ベクトルの和が定義されているとき， $\mathbb{C}^{n}$ を $n$ 次元複素ベクトル空間 （$n$-dimensional complex vector space）という．

(i) $${\vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n}}$$， $\alpha\in\mathbb{C}$ に対して， $${ \alpha\vec{a}= \begin{bmatrix} \alpha a_{1} \\ \alpha a_{2} \\ \vdots \\ \alpha a_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n} }$$.

(ii) $${ \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end... ...gin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n} }$$ に対して， $${ \vec{a}+\vec{b}= \begin{bmatrix} a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ \vdots \\ a_{n}+b_{n} \end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{n} }$$.

定義 2.3 (数ベクトル空間)   $\mathbb{R}^{n}$, $\mathbb{C}^{n}$ を 数ベクトル空間（number vector space）という．

平成20年2月2日