2.2 数ベクトル空間の性質

注意 2.4 (零ベクトル)   $\mathbb{R}^{n}$ または $\mathbb{C}^n$ のベクトル $${ \vec{0}= {\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}}^{T} }$$ を零ベクトル（zero vector）という． 零ベクトルは

$$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\,, \qquad \vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$$

をみたす．

注意 2.5 (逆ベクトルと差)   $\vec{a}$ の逆ベクトルを

$$-\vec{a}=(-1)\vec{a}= \begin{bmatrix}-a_{1} \\ -a_{2} \\ \vdots \\ -a_{n} \end{bmatrix}$$

と定義する． また， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ との差を

$$\vec{b}-\vec{a}= \vec{b}+(-1)\vec{a}$$

と定義する．

定理 2.6 (ベクトルの演算の性質)   ベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^n$ （または $\mathbb{C}^n$） とスカラー $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ （または $\mathbb{C}$）に対して 次の性質が成立する：

(i).

（交換則） $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

(ii).

（結合則） $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}= \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.

(iii).

（スカラー倍に関する結合則） $\alpha(\beta\vec{a})=(\alpha\beta)\vec{a}$.

(iv).

（スカラー倍に関する分配即） $(\alpha+\beta)\vec{a}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{a}$.

(v).

（スカラー倍に関する分配即） $\alpha(\vec{a}+\vec{b})=\alpha\vec{a}+\alpha\vec{b}$.

問 2.7 (ベクトルの演算の性質)   この定理をスカラー倍とベクトルの和の定義を用いて証明せよ．

平成20年2月2日