2.3 実ベクトルの内積

定義 2.8 (内積)   $\mathbb{R}^{n}$ の 2 つのベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bm... ... \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$$

に対して

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\vec{a}}^{T}\vec{b}= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}$$

なる 2 項演算を内積（inner product）という．

例 2.9 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$

の内積は

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}= 1\times2+1\times(-1)=1$$

である． ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$

の内積は

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$$

である．

定理 2.10 (内積の性質)   $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^{n}$ と $\alpha\in\mathbb{R}$ に対して

(i).

（内積の交換則） $\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{a}}\right)$.

(ii).

（内積の分配則） $\left({\vec{a}+\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)= \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{c}}\right)+\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)$.

(iii).

（内積のスカラー倍の結合則） $\left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $\left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$.

(iv).

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)>0$

問 2.11 (内積の性質)   これを示せ．

平成20年2月2日