2.4 複素ベクトルの内積

定義 2.12 (内積)   $\mathbb{C}^{n}$ の 2 つのベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bm... ... \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$$

に対して

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\vec{a}}^{T}\overline{\vec... ...{k}= a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+\cdots+ a_{n}\overline{b}_{n}$$

なる 2 項演算を内積（inner product）という．

注意 2.13 (内積)   $\mathbb{C}^{n}$ の内積は

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\overline{\vec{a}}}^{T}\ve... ...{k}= \overline{a}_{1}b_{1}+ \overline{a}_{2}b_{2}+\cdots+ \overline{a}_{n}b_{n}$$

と定義してもよい． ただし，定理 (iii) は $\left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $\left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$ となることに注意する．

例 2.14 (内積の具体例)   ベクトル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 1-i \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1+i \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$$

の内積は

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right) = a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+ a_{3}\overline{b}_{3}$$

$$= (1+i)\overline{(2-2i)}+ (1-i)\overline{(-1+i)}+ 1\cdot\overline{(-i)}$$

$$= (1+i)(2+2i)+(1-i)(-1-i)+1\cdot i$$

$$=-2+3i$$

である．

定理 2.15 (内積の性質)   $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{C}^{n}$ と $\alpha\in\mathbb{C}$ に対して

(i).

（内積の交換則） $\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\overline{\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{a}}\right)}$.

(ii).

（内積の分配則） $\left({\vec{a}+\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)= \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{c}}\right)+\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)$.

(iii).

（内積のスカラー倍の結合則） $\left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $\left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$.

(iv).

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $\mathbb{R}\ni\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)>0$

問 2.16 (内積の性質)   これを示せ．

平成20年2月2日