2.4 複素ベクトルの内積

定義 2.12 (内積)   $ \mathbb{C}^{n}$ の 2 つのベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bm...
... \qquad \vec{b}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix}$    

に対して

  $\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\vec{a}}^{T}\overline{\vec...
...{k}= a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+\cdots+ a_{n}\overline{b}_{n}$    

なる 2 項演算を内積(inner product)という.

注意 2.13 (内積)   $ \mathbb{C}^{n}$ の内積は

  $\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)= {\overline{\vec{a}}}^{T}\ve...
...{k}= \overline{a}_{1}b_{1}+ \overline{a}_{2}b_{2}+\cdots+ \overline{a}_{n}b_{n}$    

と定義してもよい. ただし,定理 [*] (iii) は $ \left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $ \left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$ となることに注意する.

2.14 (内積の具体例)   ベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 1-i \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1+i \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$    

の内積は

$\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$ $\displaystyle = a_{1}\overline{b}_{1}+ a_{2}\overline{b}_{2}+ a_{3}\overline{b}_{3}$    
  $\displaystyle = (1+i)\overline{(2-2i)}+ (1-i)\overline{(-1+i)}+ 1\cdot\overline{(-i)}$    
  $\displaystyle = (1+i)(2+2i)+(1-i)(-1-i)+1\cdot i$    
  $\displaystyle =-2+3i$    

である.

定理 2.15 (内積の性質)   $ \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{C}^{n}$ $ \alpha\in\mathbb{C}$ に対して
(i).
(内積の交換則) $ \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\overline{\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{a}}\right)}$.
(ii).
(内積の分配則) $ \left({\vec{a}+\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)=
\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{c}}\right)+\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{c}}\right)$.
(iii).
(内積のスカラー倍の結合則) $ \left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$, $ \left({\vec{a}}\,,\,{\alpha\vec{b}}\right)=\overline{\alpha}\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)$.
(iv).
$ \vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $ \mathbb{R}\ni\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)>0$

2.16 (内積の性質)   これを示せ.


平成20年2月2日