2.5 内積と行列の積

注意 2.17 (行列の積と内積) $l\times m$ 型行列

を行ベクトルに分割し， $m\times n$ 型行列

を列ベクトルに分割し

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \\ \vdots \\... ...quad B= \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \cdots & \vec{b}_n \end{bmatrix}$

とおく．ただし， $\vec{a}_i$ , $\vec{b}_i$ は $m\times 1$ 型の列ベクトルである．このとき積は

$\displaystyle AB$	$\displaystyle = \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \\ \vdots \\ ... ...matrix} \begin{bmatrix}\vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \cdots & \vec{b}_n \end{bmatrix}$
	$\displaystyle = \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T}\vec{b}_1 & {\vec{a}_1}^{T}\vec{b... ...{b}_2}\right) & \cdots & \left({\vec{a}_l}\,,\,{\vec{b}_n}\right) \end{bmatrix}$

と表される．

定理 2.18 (内積の性質) 複素行列 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ; $\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{C}^{n\times 1}$ に対して

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$

が成り立つ．特に

が実行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ であれば

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)=\left({{A}^{T}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)$

が成り立つ．

（証明）

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{y}}\right)= {\vec{x}}^{T}(\overline{A\... ...}}^{T}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)= \left({A^{*}\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right).$