2.6 ノルム

定義 2.19 (ノルム)   ベクトル $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ または $\vec{a}\in\mathbb{C}^{n}$ に対して

$$\Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)}= \s... ...qrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}\overline{a_k}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^2}$$

をベクトルのノルム（norm）または 長さ（length）という．

注意 2.20 (ノルムの性質)    

• $\Vert\vec{u}\Vert\geq 0$.
• $\Vert\vec{u}\Vert=0 \Leftrightarrow \vec{u}=\vec{0}$.
• $\Vert c\,\vec{u}\Vert=\vert c\vert\,\Vert\vec{u}\Vert$.

例 2.21 (ノルムの具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{2}$$

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{a}}\right)}= \sqrt{1^2+1^2}=\sq... ...}\Vert= \sqrt{\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{b}}\right)}= \sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$$

である．

例 2.22 (ノルムの具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$$

のノルムはそれぞれ

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\,, \qquad \Vert\vec{b}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert b_{k}\vert^2}= \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$$

である．

例 2.23 (ノルムの具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1+i \\ 2-3i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{2}$$

のノルムは

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{2}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{\vert 1+i\vert^2+\vert 2-3i\vert^2}= \sqrt{(1^2+1^2)+(2^2+3^2)}= \sqrt{15}$$

である．

例 2.24 (ノルムの具体例)   ベトクル

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}2-2i \\ -1 \\ -i \end{bmatrix} \in\mathbb{C}^{3}$$

のノルムは

$$\Vert\vec{a}\Vert = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}\vert a_{k}\vert^2}= \sqrt{\vert 2-2i\vert^2+\vert-1\vert^2+\vert-i\vert^2}= \sqrt{(2^2+(-2)^2)+(-1)^2+1^2}= \sqrt{10}$$

である．

平成20年2月2日