2.7 ノルムの性質

定理 2.25 (ノルムの性質) シュバルツの不等式（Schwartz' inequality）：

$\displaystyle \vert\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)\vert\leq \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$

（証明） $t\in\mathbb{R}$ , $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^n$ に対して

0	$\displaystyle \leq \Vert t\vec{a}+\vec{b}\Vert^2 =\left({t\vec{a}+\vec{b}}\,,\,... ...t)+ t\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{a}}\right)+ \left({\vec{b}}\,,\,{\vec{b}}\right)$
	$\displaystyle \quad=t^2\Vert\vec{a}\Vert^2+2t\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)+\Vert\vec{b}\Vert^2$

が成り立つ．

の 2 次式は

$\displaystyle 0\leq D= \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)^2-\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2$

をみたさなければならない．よって

$\displaystyle \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)^2\leq\Vert\vec{a}\Vert^2\Ver... ...\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)\vert\leq\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert$

を得る．

定理 2.26 (ノルムの性質) 三角不等式：

$\displaystyle \Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq \Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert\,,\quad \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^{n}$

（証明）

$\displaystyle \Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert^2$	$\displaystyle = \left({\vec{a}+\vec{b}}\,,\,{\vec{a}+\vec{b}}\right)= \left({\v... ...\Vert\vec{a}\Vert^2+ 2\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\right)+ \Vert\vec{b}\Vert^2$
	$\displaystyle \leq\Vert\vec{a}\Vert^2+ 2\vert\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{b}}\righ... ...Vert\Vert\vec{b}\Vert+ \vec{b}\Vert^2 = (\Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert)^2$

より

$\displaystyle \Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq\Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert$

を得る．

定義 2.27 (ノルム) ノルムはシュバルツの不等式と三角不等式をみたすものであればよい．次に定義される式もノルムとなる．

	$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert _{2}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^2},$		$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert _{3}=\sqrt[3]{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^3},$		$\displaystyle \cdots,$
	$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert _{p}=\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}\vert a_{k}\vert^p},$		$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert _{\infty}=\max(\vert a_1\vert,\vert a_2\vert,\cdots,\vert a_n\vert)$

平成20年2月2日