1.1 集合

定義 1.1 (集合)   ある一定範囲にある対象物の集まりを１つの全体として考えるとき， これを集合（set）という． その範囲内の個々の対象物を元 または要素（element）という． $x$ が集合 $X$ の元であることを， $x$ は $X$ に属する（belong）， または $X$ は $x$ を含む（包含する）（contain）といい， $x\in X$ と表記する．その否定を $x\notin X$ と表記する．

ある元 $x$ が条件 $C(x)$ をみたすとする． このとき，条件をみたす $x$ 全体の集合を

$$X=\left\{\left.\,{x}\,\,\right\vert\,\,{C(x)}\,\right\}$$

と表記する．

定義 1.2 (数の集合)    

• 自然数（natural number）全体の集合：

  $$\mathbb{N} =\left\{1,2,3,4,5,\cdots\right\}.$$

  
  

• 整数（integer）全体の集合：

  $$\mathbb{Z} =\left\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\right\}.$$

  
  

• 有理数（rational number, rational integer）全体の集合：

  $$\mathbb{Q} = \left\{\left.\,{\frac{a}{b}}\,\,\right\vert\,\,{a,b\in\mathbb{Z}}\,\right\}.$$

  
  

• 実数（real number）全体の集合：

  $$\mathbb{R} = \{ \}$$

  $$= \left\{\left.\,{a+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}10^{-n}}\,\,\right\vert\,\,{a\in\mathbb{Z};\,\,b_{n}\in\{0,1,2,\cdots,9\}}\,\right\}.$$

  
  

• 複素数（complex number）全体の集合：

  $$\mathbb{C} = \left\{\left.\,{a+ib}\,\,\right\vert\,\,{a,b\in\mathbb{R};\,i^2=-1}\,\right\}.$$

  
  

定義 1.3 (行列の集合)    

• 実列ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{R}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdot... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  

• 複素列ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{C}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdot... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}.$$

  
  

• 実行ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{R}_{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \dots &... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  

• 複素行ベクトル全体の集合：

  $$\mathbb{C}^{n} = \left\{\left.\,{\vec{a}= \begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots ... ...{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{C}}\,\right\}.$$

  
  

• 実行列全体の集合：

  $$\mathbb{R}^{m\times n} = \left\{\left.\,{A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_... ...ight\vert\,\,{a_{ij}\in\mathbb{R};\,i=1,2,\cdots,m;\,j=1,2,\cdots,n}\,\right\}.$$

  
  

• 複素行列全体の集合：

  $$\mathbb{C}^{m\times n} = \left\{\left.\,{A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_... ...ight\vert\,\,{a_{ij}\in\mathbb{C};\,i=1,2,\cdots,m;\,j=1,2,\cdots,n}\,\right\}.$$

  
  

定義 1.4 (その他の集合)    

• 高々 $n$ 次の実係数多項式全体の集合：

  $$\mathbb{R}[x]_{n} = \left\{\left.\,{f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots+a_{n}x^{n}}\,\,\right\vert\,\,{a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}}\,\right\}.$$

  
  

• 区間 $(a,b)$ で連続な関数全体の集合： $C(a,b)$.
• $n$ 回微分可能でかつ $n$ 階導関数が連続な関数全体の集合： $C^{n}$.
• 無限回微分可能な関数全体の集合： $C^{\infty}$.

平成20年2月2日