1.2 部分集合

定義 1.5 (集合の包含関係)    

• 元を１つも含まない集合を空集合（empty set）といい， $X=\emptyset$ と表記する．
• 集合 $X$ と $Y$ に含まれる元が全て等しいとき $X=Y$ と表記する． $X=Y$ ではないとき $X\neq Y$ と書く．
• $X$ に含まれる全ての元が $Y$ に含まれるとき， $Y$ は $X$ を含む（contain）， または，$X$ は $Y$ の部分集合（subset）といい， $X\subset Y$ と表記する． $X\subset Y$ ではないとき $X\not\subset Y$ と書く．

注意 1.6 (真部分集合)   $X\subset Y$ は定義より $X=Y$ の意味も含む． $X\subset Y$ でありかつ $X\neq Y$ のときは， $X$ は $Y$ の真部分集合（proper subset）という． これを $X\subsetneq Y$ と表記する． 書物によっては部分集合に $\subseteq$ を用い， 真部分集合に $\subset$ を用いる場合もあるので注意が必要である．

例 1.7 (包含関係の具体例)  

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\,.$$

例 1.8 (包含関係の具体例)  

$$X =\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x+y\leq1}\,\right\}\,, \qquad Y=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x+y\leq0}\,\right\}$$

のとき

$$X\supset Y$$

が成立する．

平成20年2月2日