1.5 体の性質

定理 1.18 (体の性質)   体 $K$ について次の条件が成り立つ：

(i).

零元 0，単位元 $1$ は唯一つに定まる．

(ii).

和の逆元 $-a$ は各 $a$ に対して唯一つに定まる．

(iii).

積の逆元 $a^{-1}$ は各 $a$ に対して唯一つに定まる．

(iv).

$-(-a)=a$.

(v).

$0a=0$.

(vi).

$(-1)a=-a$.

(vii).

$(-1)(-1)=1$.

(viii).

$a(-b)=-(ab)=(-a)b$.

(ix).

$(-a)(-b)=ab$.

(x).

$ab=0$ $\Rightarrow$ $a=0$ または $b=0$.

(xi).

$(-a)^{-1}=-(a^{-1})$.

(xii).

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.

問 1.19 (零元，単位元，逆元の一意性)   これを示せ．

（証明）     (i) 零元が 0, $0'$ と二つ存在するとする． すなわち

$$0+a=a=0+a\,,\quad 0'+a=a=0'+a$$

とする． この式は全ての元 $a$ で成立するので， 第一式の $a$ を $0'$ とし， 第二式の $a$ を 0 とすると

$$0+0'=0'+0=0'\,,\quad 0'+0=0+0'=0$$

となる． $0+0'=0'$, $0+0'=0$ より， $0=0'$ を得る． 零元は唯一つに定まる．

(ii) $a$ の和の逆元が $b$, $b'$ と二つ存在するとする． すなわち

$$a+b=b+a=0\,,\quad a+b'=b'+a=0$$

とする． $a+b=0$ に左から $b'$ を加えると

$$b'+(a+b)=b'+0$$

となる． 和の結合則より左辺の和の順を変える． 右辺は零元を加えているので

$$(b'+a)+b=b'$$

が成り立つ． $b'+a=0$ を用いると

$$0+b=b'$$

である．よって

$$b=b'$$

を得る． $a$ に対する和の逆元は唯一つに定まる．

(iii)は(ii)と同様に示される．他は自習とする．

平成20年2月2日