1.5 体の性質
定理 1.18 (体の性質) 体について次の条件が成り立つ:
- (i).
- 零元 0,単位元
は唯一つに定まる.
- (ii).
- 和の逆元
は各
に対して唯一つに定まる.
- (iii).
- 積の逆元
は各
に対して唯一つに定まる.
- (iv).
.
- (v).
.
- (vi).
.
- (vii).
.
- (viii).
.
- (ix).
.
- (x).
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または
.
- (xi).
.
- (xii).
.
問 1.19 (零元,単位元,逆元の一意性) これを示せ.
(証明) (i) 零元が 0,
と二つ存在するとする. すなわち
とする. この式は全ての元で成立するので, 第一式の
を
とし, 第二式の
を 0 とすると
となる.,
より,
を得る. 零元は唯一つに定まる.
(ii)
の和の逆元が
,
と二つ存在するとする. すなわち
とする.に左から
を加えると
となる. 和の結合則より左辺の和の順を変える. 右辺は零元を加えているので
が成り立つ.を用いると
である.よって
を得る.に対する和の逆元は唯一つに定まる.
(iii)は(ii)と同様に示される.他は自習とする.
平成20年2月2日