1.6 複素数
定義 1.20 (複素数) 複素数(complex number)とは, 実数に対して
で定まる数である. ただし
は
をみたし, 虚数単位(imaginary unit)と呼ぶ. 複素数
の
を実部(real part)といい
と表す.
を虚部(imaginary part)といい
と表す. 虚部が
のとき
は実数(real number)といい, 実部が
のとき
は 純虚数(pure imaginary number)という.
定義 1.21 (複素平面) 複素数全体の集合をと表す. この集合を実部
を横軸に 虚部
を縦軸にとることできる平面を 複素平面(complex plane)と呼ぶ. このとき横軸を実軸(real axis)といい, 縦軸を虚軸(imaginary axis)という.
定義 1.22 (複素共役) 複素数に対して複素数
を
の複素共役(complex conjugate)という.
定義 1.23 (複素数の絶対値と偏角) 複素数に対して実数
を
の絶対値(absolute value) または大きさ(modulus)という.
を
の 偏角(argument)という.
注意 1.24 (複素数の絶対値と偏角) 複素平面上で原点 0 とあるある複素数との距離は
である. また,実軸と 2 点 0,
を通る直線とのなす角は
である.
定理 1.25 (複素数の性質) 複素数に対して次の性質が成り立つ:
- (i).
.
- (ii).
.
- (iii).
.
- (iv).
.
- (v).
.
- (vi).
.
- (vii).
.
- (viii).
![]()
![]()
は実数.
- (ix).
![]()
![]()
は純虚数.
問 1.26 (複素数の性質) これらの性質を示せ.
平成20年2月2日