1.6 複素数

定義 1.20 (複素数)   複素数（complex number）とは， 実数 $a,b$ に対して $z=a+ib$ で定まる数である． ただし $i$ は $i^2=-1$ をみたし， 虚数単位（imaginary unit）と呼ぶ． 複素数 $z=a+ib$ の $a$ を実部（real part）といい $a=\mathrm{Re}(z)$ と表す． $b$ を虚部（imaginary part）といい $b=\mathrm{Im}(z)$ と表す． 虚部が $\mathrm{Im}(z)=0$ のとき $z$ は実数（real number）といい， 実部が $\mathrm{Re}(z)=0$ のとき $z$ は 純虚数（pure imaginary number）という．

定義 1.21 (複素平面)   複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ と表す． この集合を実部 $\mathrm{Re}(z)$ を横軸に 虚部 $\mathrm{Im}(z)$ を縦軸にとることできる平面を 複素平面（complex plane）と呼ぶ． このとき横軸を実軸（real axis）といい， 縦軸を虚軸（imaginary axis）という．

定義 1.22 (複素共役)   複素数 $z=a+ib$ に対して複素数 $\overline{z}=a-ib$ を $z$ の複素共役（complex conjugate）という．

定義 1.23 (複素数の絶対値と偏角)   複素数 $z=a+ib$ に対して実数 $\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$ を $z$ の絶対値（absolute value） または大きさ（modulus）という． $\arg z=\arctan(b/a)$ を $z$ の 偏角（argument）という．

注意 1.24 (複素数の絶対値と偏角)   複素平面上で原点 0 とあるある複素数 $z$ との距離は $\vert z\vert$ である． また，実軸と 2 点 0, $z$ を通る直線とのなす角は $\arg z$ である．

定理 1.25 (複素数の性質)   複素数 $z,w$ に対して次の性質が成り立つ：

(i).

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$.

(ii).

$\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$.

(iii).

$\vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert$.

(iv).

$\vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert$.

(v).

$\vert z\vert^2=z\overline{z}$.

(vi).

$${\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}}$$.

(vii).

$${\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$.

(viii).

$z-\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は実数．

(ix).

$z+\overline{z}=0$ $\Leftrightarrow$ $z$ は純虚数．

問 1.26 (複素数の性質)   これらの性質を示せ．

平成20年2月2日