1.7 写像

定義 1.27 (写像)   集合 $ X$, $ Y$ において, $ X$ の各元 $ x$ に対して $ Y$ の元 $ y$ を 1 つずつ対応させる規則 $ f$ が 定まっているとき, $ f$$ X$ から $ Y$ への写像(mapping)という. これを

  $\displaystyle f: X \to Y$    
  $\displaystyle X\xrightarrow{f} Y$    
  $\displaystyle f: x \mapsto y$    
  $\displaystyle y=f(x)$    

と表記する. $ f$関数(function)とも呼ばれる. また,$ X=Y$ のときは, 特に写像のことを変換(transformation)ともいう.

1.28 (写像の具体例)   ひらがなの集合とカタカナの集合

$\displaystyle X=\{$$\displaystyle ,$   い$\displaystyle ,$   う$\displaystyle ,$   え$\displaystyle ,$   お$\displaystyle ,$   か$\displaystyle , \cdots \}, \qquad Y=\{$$\displaystyle ,$   イ$\displaystyle ,$   ウ$\displaystyle ,$   エ$\displaystyle ,$   オ$\displaystyle ,$   カ$\displaystyle , \cdots \}$    

を考える. ひらがなをカタカナに書き換えるという規則を $ f$ とするとき, $ f$$ X$ から$ Y$ への写像であり,

$\displaystyle f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad f($$\displaystyle )=$$\displaystyle ,\quad \cdots$    

と書ける.

1.29 (写像の具体例)   ある実数を $ 2$ 倍して 1 を足すという規則を $ f$ とする. このとき $ f$ は写像であり,

  $\displaystyle f: \mathbb{R}\to\mathbb{R};$    
  $\displaystyle f:x\mapsto y;$    
  $\displaystyle y=f(x)=2x+1$    

と表される.


平成20年2月2日