4.1 線形写像

定義 4.1 (線形写像)   $K$ ( $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$) 上の ベクトル空間 $U$ から $K$ 上のベクトル空間 $V$ への写像

$$f:U\to V$$

が次の条件(i), (ii)をみたすとき， $f$ を線形写像（linear mapping） または1 次写像という．

(i).

$\forall\vec{x}_1,\vec{x}_2\in U$ に対して， $f(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=f(\vec{x}_1)+f(\vec{x}_2)\in V$.

(ii).

$\forall\alpha\in K$, $\forall\vec{x}\in U$ に対して， $f(\alpha\vec{x})=\alpha f(\vec{x})\in V$.

$U=V$ のとき $f$ を 線形変換（linear transformation）または 1 次変換という．

定理 4.2 (線形写像)   線形写像であるための必要十分条件は， $\forall\alpha,\beta\in K$, $\forall\vec{x}_{1}\,\vec{x}_{2}\in U$ に対して，

$$f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+ \beta f(\vec{x}_{2}) \in V$$

が成り立つことである．

注意 4.3 (零ベクトル)   線形写像 $f$ は零ベクトル $\vec{0}_{U}\in U$ を 零ベクトル $\vec{0}_{V}\in V$ へ写す． なぜなら，条件(ii)において $\alpha=0$ とすると

$$f(0\vec{x})= 0 f(\vec{x}) \qquad\Rightarrow\qquad f(\vec{0}_U)=\vec{0}_V$$

となるからである．

例 4.4 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=ax$ は線形写像である． なぜなら，

$$f(\alpha x_{1}+x_{2})=a(\alpha x_{1}+\beta x_{2})= \alpha(a x_{1})+\beta(a x_{2})= \alpha f(x_{1})+\beta f(x_{2})$$

をみたすからである．

例 4.5 (線形写像)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; y=f(x)=ax+b\,(b\neq 0)$ は 線形写像ではない． なぜなら，条件(i)は

$$f(x_1+x_2) = a(x_1+x_2)+b= (ax_1+b)+(ax_2+b)-b$$

$$= f(x_1)+f(x_2)-b\neq f(x_1)+f(x_2)$$

であり，条件(ii)は

$$f(\alpha\vec{x}) = a(\alpha x)+b= \alpha(ax+b)-\alpha b= \alpha f(x)-\alpha b \neq\alpha f(x)$$

となるからである．

例 4.6 (線形写像)   写像 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=x^2$ は線形写像ではない． なぜなら，条件(i)は

$$f(x_1+x_2)= (x_1+x_2)^2= x_1^2+x_2^2+2x_12x_2= f(x_1)+f(x_2)+2x_1x_2 \neq f(x_1)+f(x_2)$$

であり，条件(ii)は

$$f(\alpha x)= (\alpha x)^2= \alpha^2 x^2= \alpha^2 f(x) \neq \alpha f(x)$$

となるからである．

例 4.7 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};$

$$\vec{y}= \begin{bmatrix}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bm... ...atrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= A\vec{x}$$

は線形写像である． なぜなら，

$$f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= A(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\... ...a(A\vec{x}_{1})+\beta(A\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+\beta f(\vec{x}_{2})$$

をみたすからである．

問 4.8 (線形写像)   次の写像は線形写像ではないことを示せ．

$$(1) \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}; \vec{y}=A\vec{x}+\vec{b},\quad \vec{b}\neq\vec{0}$$

$$(2) \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}; \vec{y}={\vec{x}}^{T}A\vec{x}=\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}}\right)$$

問 4.9 (線形写像の具体例)   写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R};y=f(\vec{x})=(\vec{a},\vec{x})$ は 線形写像であることを示せ． ただし， $\vec{a}\in\mathbb{R}^{3}$ とする．

問 4.10 (線形写像の具体例)   $\mathbb{R}^3$ において 点 $\vec{x}$ から 単位方向ベクトルが $\vec{a}$ の直線に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という． この写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ は

$$\vec{y}= f(\vec{x})=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{a}}\right)\vec{a}$$

と表され，射影変換という． $f$ は線形変換である． これを示せ．

問 4.11 (線形写像の具体例)   $\mathbb{R}^3$ において 点 $\vec{x}$ から平面 $x_{1}x_{2}$ に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という． この写像 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ は

$$\vec{y}= f(\vec{x})= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{1}}\right)\vec{e}_{1}+ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{2}}\right)\vec{e}_{2},$$

または，

$$\vec{y}= f(\vec{x})=\vec{x}-\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{3}}\right)\vec{e}_{3}$$

と表され，射影変換という． $f$ は線形変換である． これを示せ．

まとめ 4.12 (線形写像)    

• 線形写像は原点を原点へ写す．
• 平行移動をともなう写像は線形写像ではない．
• 線形写像は定数を含まない 1 次式である．
• 線形写像は平行四辺形を平行四辺形へ写す．

平成20年2月2日