4.1 線形写像

定義 4.1 (線形写像)   $ K$ ( $ \mathbb{R}$ または $ \mathbb{C}$) 上の ベクトル空間 $ U$ から $ K$ 上のベクトル空間 $ V$ への写像

$\displaystyle f:U\to V$    

が次の条件(i), (ii)をみたすとき, $ f$線形写像(linear mapping) または1 次写像という.
(i).
$ \forall\vec{x}_1,\vec{x}_2\in U$ に対して, $ f(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=f(\vec{x}_1)+f(\vec{x}_2)\in V$.
(ii).
$ \forall\alpha\in K$, $ \forall\vec{x}\in U$ に対して, $ f(\alpha\vec{x})=\alpha f(\vec{x})\in V$.
$ U=V$ のとき $ f$線形変換(linear transformation)または 1 次変換という.

定理 4.2 (線形写像)   線形写像であるための必要十分条件は, $ \forall\alpha,\beta\in K$, $ \forall\vec{x}_{1}\,\vec{x}_{2}\in U$ に対して,

$\displaystyle f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+ \beta f(\vec{x}_{2}) \in V$    

が成り立つことである.

注意 4.3 (零ベクトル)   線形写像 $ f$ は零ベクトル $ \vec{0}_{U}\in U$ を 零ベクトル $ \vec{0}_{V}\in V$ へ写す. なぜなら,条件(ii)において $ \alpha=0$ とすると

$\displaystyle f(0\vec{x})= 0 f(\vec{x}) \qquad\Rightarrow\qquad f(\vec{0}_U)=\vec{0}_V$    

となるからである.

4.4 (線形写像の具体例)   写像 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=ax$ は線形写像である. なぜなら,

$\displaystyle f(\alpha x_{1}+x_{2})=a(\alpha x_{1}+\beta x_{2})= \alpha(a x_{1})+\beta(a x_{2})= \alpha f(x_{1})+\beta f(x_{2})$    

をみたすからである.

4.5 (線形写像)   写像 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}; y=f(x)=ax+b\,(b\neq 0)$ は 線形写像ではない. なぜなら,条件(i)は

$\displaystyle f(x_1+x_2)$ $\displaystyle = a(x_1+x_2)+b= (ax_1+b)+(ax_2+b)-b$    
  $\displaystyle = f(x_1)+f(x_2)-b\neq f(x_1)+f(x_2)$    

であり,条件(ii)は

$\displaystyle f(\alpha\vec{x})$ $\displaystyle = a(\alpha x)+b= \alpha(ax+b)-\alpha b= \alpha f(x)-\alpha b \neq\alpha f(x)$    

となるからである.

4.6 (線形写像)   写像 $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};y=f(x)=x^2$ は線形写像ではない. なぜなら,条件(i)は

$\displaystyle f(x_1+x_2)= (x_1+x_2)^2= x_1^2+x_2^2+2x_12x_2= f(x_1)+f(x_2)+2x_1x_2 \neq f(x_1)+f(x_2)$    

であり,条件(ii)は

$\displaystyle f(\alpha x)= (\alpha x)^2= \alpha^2 x^2= \alpha^2 f(x) \neq \alpha f(x)$    

となるからである.

4.7 (線形写像の具体例)   写像 $ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};$

$\displaystyle \vec{y}= \begin{bmatrix}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bm...
...atrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}= A\vec{x}$    

は線形写像である. なぜなら,

$\displaystyle f(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\vec{x}_{2})= A(\alpha\vec{x}_{1}+\beta\...
...a(A\vec{x}_{1})+\beta(A\vec{x}_{2})= \alpha f(\vec{x}_{1})+\beta f(\vec{x}_{2})$    

をみたすからである.

4.8 (線形写像)   次の写像は線形写像ではないことを示せ.

$\displaystyle (1)$ $\displaystyle \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}; \vec{y}=A\vec{x}+\vec{b},\quad \vec{b}\neq\vec{0}$    
$\displaystyle (2)$ $\displaystyle \quad f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}; \vec{y}={\vec{x}}^{T}A\vec{x}=\left({\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}}\right)$    

4.9 (線形写像の具体例)   写像 $ f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R};y=f(\vec{x})=(\vec{a},\vec{x})$ は 線形写像であることを示せ. ただし, $ \vec{a}\in\mathbb{R}^{3}$ とする.

4.10 (線形写像の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ において 点 $ \vec{x}$ から 単位方向ベクトルが $ \vec{a}$ の直線に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という. この写像 $ f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$

$\displaystyle \vec{y}= f(\vec{x})=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{a}}\right)\vec{a}$    

と表され,射影変換という. $ f$ は線形変換である. これを示せ.

4.11 (線形写像の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ において 点 $ \vec{x}$ から平面 $ x_{1}x_{2}$ に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という. この写像 $ f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$

$\displaystyle \vec{y}= f(\vec{x})= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{1}}\right)\vec{e}_{1}+ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{2}}\right)\vec{e}_{2},$    

または,

$\displaystyle \vec{y}= f(\vec{x})=\vec{x}-\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{e}_{3}}\right)\vec{e}_{3}$    

と表され,射影変換という. $ f$ は線形変換である. これを示せ.

まとめ 4.12 (線形写像)    


平成20年2月2日