4.1 線形写像
定義 4.1 (線形写像)(
または
) 上の ベクトル空間
から
上のベクトル空間
への写像
が次の条件(i), (ii)をみたすとき,を線形写像(linear mapping) または1 次写像という.
- (i).
に対して,
.
- (ii).
,
に対して,
.
のとき
を 線形変換(linear transformation)または 1 次変換という.
定理 4.2 (線形写像) 線形写像であるための必要十分条件は,,
に対して,
が成り立つことである.
注意 4.3 (零ベクトル) 線形写像は零ベクトル
を 零ベクトル
へ写す. なぜなら,条件(ii)において
とすると
となるからである.
例 4.4 (線形写像の具体例) 写像は線形写像である. なぜなら,
をみたすからである.
例 4.5 (線形写像) 写像は 線形写像ではない. なぜなら,条件(i)は
であり,条件(ii)は
となるからである.
例 4.6 (線形写像) 写像は線形写像ではない. なぜなら,条件(i)は
であり,条件(ii)は
となるからである.
例 4.7 (線形写像の具体例) 写像![]()
は線形写像である. なぜなら,
をみたすからである.
問 4.8 (線形写像) 次の写像は線形写像ではないことを示せ.
問 4.9 (線形写像の具体例) 写像は 線形写像であることを示せ. ただし,
とする.
問 4.10 (線形写像の具体例)において 点
から 単位方向ベクトルが
の直線に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という. この写像
は
と表され,射影変換という.は線形変換である. これを示せ.
問 4.11 (線形写像の具体例)において 点
から平面
に 垂直に下ろした点 tex2html_wrap_inline$y$ を正射影という. この写像
は
または,
と表され,射影変換という.は線形変換である. これを示せ.
まとめ 4.12 (線形写像)
- 線形写像は原点を原点へ写す.
- 平行移動をともなう写像は線形写像ではない.
- 線形写像は定数を含まない 1 次式である.
- 線形写像は平行四辺形を平行四辺形へ写す.
平成20年2月2日