4.2 演習問題 〜 線形写像

問 4.13 (線形写像)   次の変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ が 線形変換であるか否か示せ．
    (1)   点 $\vec{x}$ と原点 $\vec{0}$ との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (2)   点 $\vec{x}$ と点 $\vec{q}={\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \end{bmatrix}}^{T}$ との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (3)   直線 $\ell$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ へ正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (4)   直線 $\ell'$ を点 $\vec{q}$ を通り 方向ベクトル $\vec{p}$ の直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (5)   点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (6)   点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (7)   直線 $\tilde{\ell}$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\tilde{\vec{p}}={\begin{bmatrix}-2&0&3\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影と 点 $\vec{x}$ から直線 $\tilde{\ell}$ への正射影との 中点 $\vec{y}$ への変換．
    (8)   直線 $\tilde{\ell}'$ を点 $\vec{q}$ を通り 方向ベクトル $\tilde{\vec{p}}$ の直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影と 点 $\vec{x}$ から直線 $\tilde{\ell}'$ への正射影との 中点 $\vec{y}$ への変換．
    (9)   $x_2x_3$ 平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．     (10)   平面 $x_1=2$ への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (11)   $x_1x_3$ 平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．     (12)   平面 $x_2=-1$ への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (13)   $x_1x_2$ 平面への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (14)   原点 $\vec{q}$ に関して点対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (15)   原点 $\vec{0}$ に関して点対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (16)   平面 $x_3=3$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (17)   $x_1x_2$ 平面に関して対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (18)   平面 $x_3=3$ に関して対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (19)   原点 $\vec{0}$ と点 $\vec{x}$ を通る直線上にあり， 原点 $\vec{0}$ からの距離が $3$ 倍となる点 $\vec{y}$ への変換．
    (20)   点 $\vec{q}$ と点 $\vec{x}$ を通る直線上にあり， 点 $\vec{q}$ からの距離が $3$ 倍となる点 $\vec{y}$ への変換．

問 4.14 (線形写像)   次の写像は線形写像か否か示せ．
    (1)   $${f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=2x}$$     (2)   $${f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=3x+1}$$
    (3)   $${f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=x^2}$$     (4)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \end{bmatrix}}$$
    (5)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2x_{1}+ x_{2} \\ x_{1}-5x_{2} \end{bmatrix}}$$     (6)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2}+2 \\ 2x_{1}+3x_{2}-1 \end{bmatrix}}$$
    (7)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2}+3 \\ x_{1}-x_{2}-5 \end{bmatrix}}$$     (8)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+x_{2} \\ x_{2} \end{bmatrix}}$$
    (9)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}{}^2+ x_{2}{}^2 \\ x_{1}{}^2-x_{2}{}^2 \end{bmatrix}}$$     (10)   $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} \vert x_{1}\vert \\ 0 \end{bmatrix}}$$
    (11)   $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 3x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ x_{1}+3x_{2}-x_{3} \end{bmatrix}}$$     (12)   $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}}$$
    (13)   $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{1}-3x_{2}-x_{3} \end{bmatrix}}$$     (14)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+1 \\ 2x_{2} \\ x_1+x_2 \end{bmatrix}}$$
    (15)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=x_1x_2}$$     (16)   $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\vert x_1-x_2\vert}$$
    (17)   $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=2x_1-3x_2+4x_3}$$     (18)   $${f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(x)= \begin{bmatrix} 2x \\ 3x \end{bmatrix}}$$
    (19)   $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=3\vec{x}$     (20)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$, ただし $A:m\times n$.
    (21)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{b}$, ただし $A:m\times n$, $\vec{b}:m\times 1$.
    (22)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\left({\vec{e}_{1}}\,,\,{\vec{... ...c{e}_{2}}\,,\,{\vec{x}}\right)+\cdots+ \left({\vec{e}_{n}}\,,\,{\vec{x}}\right)$
    (23)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=x_{1}{}^2+x_{2}{}^2+\cdots+x_{n}{}^2$
    (24)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$, ただし $A:n\times n$.

問 4.15 (線形写像)   次の変換 $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $f\mapsto g$ が 線形変換であるか否か示せ．

(1) $g(x)=F(f)(x)=f'(x)+f(0)x^2+f(1)$          (2) $g(x)=F(f)(x)=f'(x)+f(0)x^2+f(1)+1$

(3) $g(x)=F(f)(x)=f(1+2x)$          (4) $g(x)=F(f)(x)=f(1+2x)+1$

(5) $g(x)=F(f)(x)=2f'(x)+3f(x)$

注意 4.16 (汎関数)   写像 $F$ は入力が関数 $f(x)$ で 出力が関数 $g(x)$ の関数とみなせる． 関数の関数のことを汎関数（functional）という．

$$F:f\mapsto g, \qquad g(x)=F[f(x)](x)=F(f(x))=F(f)(x)$$

などと表記する．

平成20年2月2日