4.2 演習問題～線形写像

問 4.13 (線形写像) 次の変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ ; $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ が線形変換であるか否か示せ．
    (1)   点 $\vec{x}$ と原点 $\vec{0}$ との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (2)   点 $\vec{x}$ と点 $\vec{q}={\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \end{bmatrix}}^{T}$ との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (3)   直線 $\ell$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}^{T}$ の直線とする．点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ へ正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (4)   直線 $\ell'$ を点 $\vec{q}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}$ の直線とする．点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (5)   点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (6)   点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (7)   直線 $\tilde{\ell}$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\tilde{\vec{p}}={\begin{bmatrix}-2&0&3\end{bmatrix}}^{T}$ の直線とする．点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影と点 $\vec{x}$ から直線 $\tilde{\ell}$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (8)   直線 $\tilde{\ell}'$ を点 $\vec{q}$ を通り方向ベクトル $\tilde{\vec{p}}$ の直線とする．点 $\vec{x}$ から直線 $\ell'$ への正射影と点 $\vec{x}$ から直線 $\tilde{\ell}'$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (9)   平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．     (10)   平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (11)   平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．     (12)   平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．
    (13)   平面への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (14)   原点 $\vec{q}$ に関して点対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (15)   原点 $\vec{0}$ に関して点対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (16)   平面への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．
    (17)   平面に関して対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (18)   平面に関して対称な点 $\vec{y}$ への変換．
    (19)   原点 $\vec{0}$ と点 $\vec{x}$ を通る直線上にあり，原点 $\vec{0}$ からの距離が倍となる点 $\vec{y}$ への変換．
    (20)   点 $\vec{q}$ と点 $\vec{x}$ を通る直線上にあり，点 $\vec{q}$ からの距離が倍となる点 $\vec{y}$ への変換．

問 4.14 (線形写像) 次の写像は線形写像か否か示せ．
    (1)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=2x}$     (2)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=3x+1}$
    (3)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R};\,\,y=f(x)=x^2}$     (4)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \end{bmatrix}}$
    (5)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2x_{1}+ x_{2} \\ x_{1}-5x_{2} \end{bmatrix}}$     (6)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2}+2 \\ 2x_{1}+3x_{2}-1 \end{bmatrix}}$
    (7)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+ x_{2}+3 \\ x_{1}-x_{2}-5 \end{bmatrix}}$     (8)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+x_{2} \\ x_{2} \end{bmatrix}}$
    (9)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}{}^2+ x_{2}{}^2 \\ x_{1}{}^2-x_{2}{}^2 \end{bmatrix}}$     (10)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} \vert x_{1}\vert \\ 0 \end{bmatrix}}$
    (11)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 3x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ x_{1}+3x_{2}-x_{3} \end{bmatrix}}$     (12)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}}$
    (13)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2x_{1}-x_{2}+2x_{3} \\ 2x_{1}-3x_{2}-x_{3} \end{bmatrix}}$     (14)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3;\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_{1}+1 \\ 2x_{2} \\ x_1+x_2 \end{bmatrix}}$
    (15)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=x_1x_2}$     (16)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\vert x_1-x_2\vert}$
    (17)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=2x_1-3x_2+4x_3}$     (18)   $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2;\,\, \vec{y}=f(x)= \begin{bmatrix} 2x \\ 3x \end{bmatrix}}$
    (19)   $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=3\vec{x}$     (20)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ , ただし $A:m\times n$ .
    (21)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{b}$ , ただし $A:m\times n$ , $\vec{b}:m\times 1$ .
    (22)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\left({\vec{e}_{1}}\,,\,{\vec{... ...c{e}_{2}}\,,\,{\vec{x}}\right)+\cdots+ \left({\vec{e}_{n}}\,,\,{\vec{x}}\right)$
    (23)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=x_{1}{}^2+x_{2}{}^2+\cdots+x_{n}{}^2$
    (24)   $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R};\,\, y=f(\vec{x})=\vec{x}^{T}A\vec{x}$ , ただし $A:n\times n$ .