定理 4.17 (線形写像の行列表示)
任意の線形写像
![$ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$](img2102.png)
は
と
行列表示が可能である.
行列
![$ A$](img267.png)
を
![$ f$](img156.png)
の
標準基底に関する表現行列という.
例 4.18 (線形写像の行列表示の具体例)
ある線形写像
![$ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$](img2104.png)
は
をみたす写像である.
このとき
![$ f$](img156.png)
の行列表示
![$ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$](img2106.png)
を求める.
![$ \mathbb{R}^2$](img549.png)
の任意のベクトルは
と表される.
このとき
が成り立つ.
よって
![$ f$](img156.png)
の標準基底に関する表現行列
![$ A$](img267.png)
は
である.
![$ f$](img156.png)
の行列表示
![$ \vec{y}=A\vec{x}$](img2110.png)
は
と得られる.
例 4.19 (線形写像の行列表示)
![$ \mathbb{R}^3$](img527.png)
における
![$ x_1x_2$](img2065.png)
平面への
射影変換
![$ f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$](img2044.png)
;
の行列表示を求める.
![$ \mathbb{R}^3$](img527.png)
の任意のベクトル
を
![$ f$](img156.png)
で写すと,
と表される.
ここで,標準基底を
![$ f$](img156.png)
で写すと
となる.これを用いると
標準基底に関する
![$ f$](img156.png)
の表現行列は
と求まる.
あらためて行列表示を成分で表すと,
となる.また
とも書ける.
例 4.20 (行列表示の具体例)
ある線形写像
![$ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$](img2104.png)
は
をみたす写像である.
このとき
![$ f$](img156.png)
の行列表示
![$ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$](img2106.png)
を求める.
![$ \mathbb{R}^2$](img549.png)
の任意のベクトル
![$ \vec{x}$](img402.png)
は標準基底
![$ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$](img1603.png)
では
となり,基底
では
と表される.
これは基底
![$ \Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$](img1547.png)
における
座標
![$ (x_1,x_2)_{\Sigma}$](img1548.png)
から
基底
![$ \Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$](img2125.png)
における
座標
![$ (x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$](img1551.png)
への
座標変換を表し,
![$ U$](img1489.png)
は基底の変換行列である.
また,この逆変換は
となる.
これを用いて,
任意のベクトル
![$ \vec{x}$](img402.png)
を
![$ f$](img156.png)
で写すと
と,
![$ f$](img156.png)
の行列表示が得られる.
標準基底に関する表現行列
![$ A$](img267.png)
は
となる.
よって線形写像
![$ f$](img156.png)
の行列表示を成分であらためて表すと
となる.
平成20年2月2日