4.3 線形写像の行列表示

定理 4.17 (線形写像の行列表示)   任意の線形写像 $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ は

$$\vec{y}=f(\vec{x})= A\vec{x}, \quad A\in\mathbb{R}^{m\times n}$$

と行列表示が可能である． 行列 $A$ を $f$ の 標準基底に関する表現行列という．

例 4.18 (線形写像の行列表示の具体例)   ある線形写像 $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ は

$$f(\vec{e}_{1})= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad f(\vec{e}_{2})= \begin{bmatrix}3 \\ -1 \end{bmatrix}$$

をみたす写像である． このとき $f$ の行列表示 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を求める． $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトルは

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2$$

と表される． このとき

$$\vec{y} =f(\vec{x})= f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2)= x_1f(\vec{e}_1)+x_2f(\... ...& f(\vec{e}_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = A\vec{x}$$

が成り立つ． よって $f$ の標準基底に関する表現行列 $A$ は

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$

である． $f$ の行列表示 $\vec{y}=A\vec{x}$ は

$$\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

と得られる．

例 4.19 (線形写像の行列表示)   $\mathbb{R}^3$ における $x_1x_2$ 平面への 射影変換 $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$;

$$y=f(\vec{x})= (\vec{x},\vec{e}_{1})\vec{e}_{1}+ (\vec{x},\vec{e}_{2})\vec{e}_{2}$$

の行列表示を求める． $\mathbb{R}^3$ の任意のベクトル

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}= x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2}+x_{3}\vec{e}_{3}$$

を $f$ で写すと，

$$\vec{y} = f(\vec{x})= f(x_{1}\vec{e}_{1}+x_{2}\vec{e}_{2}+x_{3}\vec{e}_{3})= x_{1}f(\vec{e}_{1})+x_{2}f(\vec{e}_{2})+x_{3}f(\vec{e}_{3})$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & f(\vec{e}_{3}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} =A\vec{x}$$

と表される． ここで，標準基底を $f$ で写すと

$$f(\vec{e}_{1})= (\vec{e}_{1},\vec{e}_{1})\vec{e}_{1}+ (\vec{e}_{1},\vec{e}_{2})\vec{e}_{2}=\vec{e}_{1},$$

$$f(\vec{e}_{2})= (\vec{e}_{2},\vec{e}_{1})\vec{e}_{1}+ (\vec{e}_{2},\vec{e}_{2})\vec{e}_{2}=\vec{e}_{2},$$

$$f(\vec{e}_{3})= (\vec{e}_{3},\vec{e}_{1})\vec{e}_{3}+ (\vec{e}_{3},\vec{e}_{2})\vec{e}_{3}=\vec{0}$$

となる．これを用いると 標準基底に関する $f$ の表現行列は

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_{1}) & f(\vec{e}_{2}) & f(\vec{e}_{3}... ...end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

と求まる． あらためて行列表示を成分で表すと，

$$\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1... ...1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$

となる．また

$$y_1=x_1,\quad y_2=x_2,\quad y_3=0$$

とも書ける．

例 4.20 (行列表示の具体例)   ある線形写像 $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$ は

$$f\left( \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatri... ...egin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix}-4 \\ 2 \end{bmatrix}$$

をみたす写像である． このとき $f$ の行列表示 $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を求める． $\mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $\vec{x}$ は標準基底 $\{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2}\}$ では

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2$$

となり，基底

$$\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\}= \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\}$$

では

$$\vec{x}= x'_1\vec{u}_1+x'_2\vec{u}_2 = \begin{bmatrix}\vec{u}_1 &... ...1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix} = U\vec{x}'$$

と表される． これは基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ における 座標 $(x_1,x_2)_{\Sigma}$ から 基底 $\Sigma'=\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ における 座標 $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ への 座標変換を表し， $U$ は基底の変換行列である． また，この逆変換は

$$\vec{x}'=U^{-1}\vec{x}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \vec{x}$$

となる． これを用いて， 任意のベクトル $\vec{x}$ を $f$ で写すと

$$\vec{y} = f(\vec{x})= f(x'_{1}\vec{u}_{1}+x'_{2}\vec{u}_{2})= x'_{1}f(\ve... ...}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_{1} \\ x'_{2} \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} \v... ...bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} U^{-1} \vec{x} = A\vec{x}$$

と，$f$ の行列表示が得られる． 標準基底に関する表現行列 $A$ は

$$A= \begin{bmatrix}f(\vec{u}_{1}) & f(\vec{u}_{2}) \end{bmatrix} U... ...{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$$

となる． よって線形写像 $f$ の行列表示を成分であらためて表すと

$$\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

となる．

平成20年2月2日