4.6 一般の線形写像の表現行列
次元のベクトル空間
と
次元のベクトル空間
において, 基底をそれぞれ
,
とすると,
,
の任意のベクトルはそれぞれ
△
▲
と表される. このとき, 線形写像;
は
☆
となる. ベクトル,
,
,
は
のベクトルであるから, 基底
を用いて
と表されるので
★
と書ける. 以上より(▲), (☆), (★)より
を得る.は 1 次独立であるから
♭
が成り立つ. 線形写像により 線形写像
が定まる.
注意 4.26 (一般のベクトル空間における線形写像) 一般のベクトル空間における線形写像と 数ベクトル空間における線形写像
とを 次のように同一視する:
定義 4.27 (線形写像の表現行列) ベクトル空間の基底を
とし, ベクトル空間
の基底を
とする. このとき, 線形写像
が
をみたすとき, 行列を
の基底
と
の基底
に関する 表現行列という.
定理 4.28 (線形写像の行列表示) 線形写像において, ベクトル空間
の基底が
であり, その基底における座標を
とし, ベクトル空間
の基底が
であり, その基底における座標を
とする. このとき, 行列
が
の表現行列であることと,
が成り立つこととは,必要十分条件である.
注意 4.29 (表現行列),
とし,
の基底を標準基底
とし,
の基底を標準基底
とする. このとき
,
となるから, (♭)は
となる. よって, 本節の表現行列の定義により定まる
と 前節の表現行列の定義により定まる
とは, この条件のもとで一致する.
注意 4.30 (表現行列) 線形写像の標準基底に おける表現行列は
である.
定理 4.31 (基底を取り換えたときの表現行列) 線形写像において
の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に 関する表現行列を
とする. すなわち,
とする.の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に 関する表現行列を
とする. すなわち,
とする. このとき
が成り立つ. ここで,
は基底の変換行列であり,
である.
(証明) まず,
が成り立つ.また,
となる.よって,であり
が成り立つ.
定理 4.32 (線形変換の表現行列の基底の取り替え) ベクトル空間の基底
,
,
における 線形変換
の表現行列を
とし, 基底
における
の表現行列を
とする. また,基底
から 基底
への 基底の変換行列を
とする. このとき
が成り立つ.
(証明) まず,表現行列
,
は定義より
をみたす.基底の変換行列は
をみたす. このとき
が成り立つのでとなる. よって
を得る.
例 4.33 (表現行列の基底の取り替えの具体例) 線形変換;
☆
の表現行列を求める.の基底を
とし, 多項式
,
を表すと
△
▲
となる. このとき(☆)より
となる. ここで,,
,
を(☆)に代入すると それぞれ
,
,
となるので,
を得る.は基底
に関する
の表現行列である. これを代入すると
♭
となる. (▲)と比較するとが成立する. よって,線形変換
は
と行列表示で書かれた線形変換と等価である.
次に基底
に関する 表現行列
を求める. すなわち,
は
をみたす. 基底から
への 変換行列
は
により与えられる. このとき,多項式,
は
□
■
となる. (△), (▲)と(□), (■)とを比較すると
を得る. これは基底における 座標
と 基底
における 座標
との座標変換を表す. (♭), (□), (■)より
となるので,となり,
を得る. 以上より基底に関する
の表現行列
は
と得られる. よって,基底に関する線形変換
の行列表示は
となる.
平成20年2月2日