4.7 演習問題 〜 線形写像の表現行列

問 4.34 (線形変換の行列表示)   次の線形変換 $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ を 行列表示にせよ．

(1) 点 $\vec{x}$ と原点 $\vec{0}$ との中点 $\vec{y}$ への変換．

(2) 直線 $\ell$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\vec{p}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ へ正射影 $\vec{y}$ への変換．

(3) 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影との中点 $\vec{y}$ への変換．

(4) 直線 $\tilde{\ell}$ を原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトル $\tilde{\vec{p}}={\begin{bmatrix}-2&0&3\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする． 点 $\vec{x}$ から直線 $\ell$ への正射影と 点 $\vec{x}$ から直線 $\tilde{\ell}$ への正射影との 中点 $\vec{y}$ への変換．

(5) $x_2x_3$ 平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．          (6) $x_1x_3$ 平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．

(7) $x_1x_2$ 平面への正射影 $\vec{y}$ への変換．          (8) 原点 $\vec{0}$ に関して点対称な点 $\vec{y}$ への変換．

(9) $x_1x_2$ 平面に関して対称な点 $\vec{y}$ への変換．

(10) 原点 $\vec{0}$ と点 $\vec{x}$ を通る直線上にあり， 原点 $\vec{0}$ からの距離が $3$ 倍となる点 $\vec{y}$ への変換．

問 4.35 (線形写像の行列表示)   次の条件をみたす線形写像を行列表示にせよ．

(1) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix}}$$

(2) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 5 \\ 9 \end{bmatrix}}$$

(3) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} -6 \\ -13 \end{bmatrix}}$$

(4) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=3}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=-2}$$

(5) $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)= \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}$$

(6) $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=3}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}\right)=1}$$, $${ f\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=-2}$$

問 4.36 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $f$ の標準基底における表現行列を求めよ．

(1) $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$

(2) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3};\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \left({\vec{a}}\,,\... ...,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}+ \left({\vec{c}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{3}$

(3) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=2\vec{x}$

(4) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{1}+ \left({\vec{b}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}$

(5) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\, \vec{y}=f(\vec{x})= \left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{1}+ \left({\vec{c}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}$

(6) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $f$ は $f(\vec{e}_{1})=\vec{a}$, $f(\vec{e}_{2})=\vec{b}$ をみたす．

(7) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $f$ は $f(\vec{e}_{1})=\vec{a}$, $f(\vec{e}_{2})=\vec{c}$ をみたす．

(8) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $f$ は $f(\vec{a})=\vec{b}$, $f(\vec{b})=\vec{a}$ をみたす．

(9) $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $f$ は $f(\vec{a})=\vec{c}$, $f(\vec{b})=\vec{a}$ をみたす． ただし

$$\vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{b}= \b... ...ix}-2 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{c}= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

問 4.37 (線形写像の表現行列)   前問の線形写像 $f$ に関する次の基底における表現行列を求めよ．

(1) $\mathbb{R}^{n}$ の基底 $${\left\{ \vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n} \right\}}$$, $\mathbb{R}^{m}$ の基底 $${\left\{ \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m} \right\}}$$

(2) $\mathbb{R}^2$ の基底 $${ \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${ \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} }$$      (3)-(9) $\mathbb{R}^2$ の基底 $${ \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$

問 4.38 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $f$ の表現行列を与えられた基底に関して求めよ．

(1) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^2$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right.}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(2) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^2$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right.}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(3) $${ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^2$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right.}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(4) $${ f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^4$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(5) $${ f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^4$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(6) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^4$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(7) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_1-x_2\\ x_2+x_3 \\ x_1-x_3 \\ x_1+x_2+x_3 \end{bmatrix}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^4$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(8) $${ f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} x_1+2x_2-x_3\\ 2x_1-5x_2 \\ 7x_1-3x_4 \end{bmatrix}}$$, $\mathbb{R}^4$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(9) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(10) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 5 & 2 & 2 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(11) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

(12) $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 3 \end{bmatrix}\vec{x} }$$, $\mathbb{R}^3$ の基底 $${\left\{ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right.}$$, $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$, $${\left. \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$.

問 4.39 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $F$ の表現行列を与えられた基底に関して求めよ．

(1) $F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $F(f(x))=f'(x)$, $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(2) $F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $F(f(x))=f''(x)$, $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(3) $F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $F(f(x))=f'''(x)$, $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(4) $F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $${F(f(x))=\int_0^{x}f(y)\,dy}$$, $\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(5) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(0)+f(1)x+f(2)x^2$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(6) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(0)+f(1)x+f(2)x^2$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(7) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(x)+xf'(x)+x^2f''(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(8) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(x)+xf'(x)+x^2f''(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(9) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(0)-2f'(x)+(1-x^2)f''(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(10) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=f(0)-2f'(x)+(1-x^2)f''(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(11) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=2f'(x)+3f(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(12) $F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $F(f(x))=2f'(x)+3f(x)$, $\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $\left\{ 1+x,x+x^2,1-2x^2 \right\}$.

平成20年2月2日