4.7 演習問題 〜 線形写像の表現行列

4.34 (線形変換の行列表示)   次の線形変換 $ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; $ \vec{x}\mapsto\vec{y}$ を 行列表示にせよ.

(1) 点 $ \vec{x}$ と原点 $ \vec{0}$ との中点 $ \vec{y}$ への変換.

(2) 直線 $ \ell$ を原点 $ \vec{0}$ を通り方向ベクトル $ \vec{p}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする. 点 $ \vec{x}$ から直線 $ \ell$ へ正射影 $ \vec{y}$ への変換.

(3) 点 $ \vec{x}$ から直線 $ \ell$ への正射影との中点 $ \vec{y}$ への変換.

(4) 直線 $ \tilde{\ell}$ を原点 $ \vec{0}$ を通り方向ベクトル $ \tilde{\vec{p}}={\begin{bmatrix}-2&0&3\end{bmatrix}}^{T}$ の 直線とする. 点 $ \vec{x}$ から直線 $ \ell$ への正射影と 点 $ \vec{x}$ から直線 $ \tilde{\ell}$ への正射影との 中点 $ \vec{y}$ への変換.

(5) $ x_2x_3$ 平面への正射影 $ \vec{y}$ への変換.          (6) $ x_1x_3$ 平面への正射影 $ \vec{y}$ への変換.

(7) $ x_1x_2$ 平面への正射影 $ \vec{y}$ への変換.          (8) 原点 $ \vec{0}$ に関して点対称な点 $ \vec{y}$ への変換.

(9) $ x_1x_2$ 平面に関して対称な点 $ \vec{y}$ への変換.

(10) 原点 $ \vec{0}$ と点 $ \vec{x}$ を通る直線上にあり, 原点 $ \vec{0}$ からの距離が $ 3$ 倍となる点 $ \vec{y}$ への変換.

4.35 (線形写像の行列表示)   次の条件をみたす線形写像を行列表示にせよ.

(1) $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
2 \\ 4
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ -1
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
-4 \\ 2
\end{bmatrix}}$

(2) $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
2 \\ -1
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
5 \\ 8
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
5 \\ 9
\end{bmatrix}}$

(3) $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
1 \\ 3
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
-1 \\ 3
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
-6 \\ -13
\end{bmatrix}}$

(4) $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=3}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=-2}$

(5) $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
3 \\ -1 \\ 5
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}}$

(6) $ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=3}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -2
\end{bmatrix}\right)=1}$, $ \displaystyle{
f\left(
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right)=-2}$

4.36 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $ f$ の標準基底における表現行列を求めよ.

(1) $ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$

(2) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3};\,\,
\vec{y}=f(\vec{x})=
\left({\vec{a}}\,,\...
...,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}+
\left({\vec{c}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{3}$

(3) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\,\vec{y}=f(\vec{x})=2\vec{x}$

(4) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\,
\vec{y}=f(\vec{x})=
\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{1}+
\left({\vec{b}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}$

(5) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2};\,\,
\vec{y}=f(\vec{x})=
\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{1}+
\left({\vec{c}}\,,\,{\vec{x}}\right)\vec{e}_{2}$

(6) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $ f$ $ f(\vec{e}_{1})=\vec{a}$, $ f(\vec{e}_{2})=\vec{b}$ をみたす.

(7) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $ f$ $ f(\vec{e}_{1})=\vec{a}$, $ f(\vec{e}_{2})=\vec{c}$ をみたす.

(8) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $ f$ $ f(\vec{a})=\vec{b}$, $ f(\vec{b})=\vec{a}$ をみたす.

(9) $ f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$. $ f$ $ f(\vec{a})=\vec{c}$, $ f(\vec{b})=\vec{a}$ をみたす. ただし

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{b}= \b...
...ix}-2 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{c}= \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \end{bmatrix}.$    

4.37 (線形写像の表現行列)   前問の線形写像 $ f$ に関する次の基底における表現行列を求めよ.

(1) $ \mathbb{R}^{n}$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}
\right\}}$, $ \mathbb{R}^{m}$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}
\right\}}$

(2) $ \mathbb{R}^2$ の基底 $ \displaystyle{
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-1 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}
}$      (3)-(9) $ \mathbb{R}^2$ の基底 $ \displaystyle{
\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
-1 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$

4.38 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $ f$ の表現行列を与えられた基底に関して求めよ.

(1) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 \\
3 & 1 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^2$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

(2) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 1 \\
1 & 5 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^2$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
2 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$.

(3) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^2$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

(4) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & 3\\
0 & 2 & 0 & 1\\
-2 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^4$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ -1 \\ 5 \\
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 4 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ -2 \\ 3 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ -1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 5
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
-1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$.

(5) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 3 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^4$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right\}}$.

(6) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & -1 \\
-1 & 0 & 3 \\
1 & -2 & 4 \\
3 & 1 & 5
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 5
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
-1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^4$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ -1 \\ 5 \\
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 4 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ -2 \\ 3 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ -1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\right\}}$.

(7) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
x_1-x_2\\
x_2+x_3 \\
x_1-x_3 \\
x_1+x_2+x_3
\end{bmatrix}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^4$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

(8) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
x_1+2x_2-x_3\\
2x_1-5x_2 \\
7x_1-3x_4
\end{bmatrix}}$, $ \mathbb{R}^4$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

(9) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
3 & 4 & 5 \\
-1 & 2 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 5 \\ 2
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
3 \\ 4 \\ -2
\end{bmatrix}\right\}}$.

(10) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & -1 \\
1 & 0 & -3 \\
5 & 2 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
0 \\ -2 \\ 2
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 0 \\ -1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
3 \\ -1 \\ 0
\end{bmatrix}\right\}}$.

(11) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 1 \\
-1 & -3 & 1 \\
2 & 5 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
3 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

(12) $ \displaystyle{
f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}
}$, $ \mathbb{R}^3$ の基底 $ \displaystyle{\left\{
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix}\right.}$, $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{\left.
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$.

4.39 (線形写像の表現行列)   次の線形写像 $ F$ の表現行列を与えられた基底に関して求めよ.

(1) $ F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $ F(f(x))=f'(x)$, $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(2) $ F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $ F(f(x))=f''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(3) $ F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $ F(f(x))=f'''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(4) $ F:\mathbb{R}[x]_n\to\mathbb{R}[x]_n$; $ \displaystyle{F(f(x))=\int_0^{x}f(y)\,dy}$, $ \mathbb{R}[x]_n$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n \right\}$.

(5) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(0)+f(1)x+f(2)x^2$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(6) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(0)+f(1)x+f(2)x^2$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(7) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(x)+xf'(x)+x^2f''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(8) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(x)+xf'(x)+x^2f''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(9) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(0)-2f'(x)+(1-x^2)f''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(10) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=f(0)-2f'(x)+(1-x^2)f''(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1+x,x+x^2,1-x^2 \right\}$.

(11) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=2f'(x)+3f(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1,x,x^2 \right\}$.

(12) $ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$; $ F(f(x))=2f'(x)+3f(x)$, $ \mathbb{R}[x]_2$ の基底 $ \left\{ 1+x,x+x^2,1-2x^2 \right\}$.


平成20年2月2日