4.8 線形写像の像と核

定義 4.40 (像)   線形写像 $ f:U\to V$ に対して集合

$\displaystyle \mathrm{Im}\,(f)=f(U)= \left\{\left.\,{\vec{v}\in V}\,\,\right\vert\,\,{\vec{v}=f(\vec{u}),\,\forall u\in U}\,\right\}$    

$ f$像(image)という.

定義 4.41 (核)   線形写像 $ f:U\to V$ に対して集合

$\displaystyle \mathrm{Ker}\,(f)= \left\{\left.\,{\vec{u}\in U}\,\,\right\vert\,\,{f(\vec{u})=\vec{0}_{V}}\,\right\}$    

$ f$核(kernel)という.

定理 4.42 (像と部分空間)   線形写像 $ f:U\to V$ の像 $ \mathrm{Im}\,(f)$$ V$ の部分空間である.


(証明)     像 $ \mathrm{Im}\,(f)\subset V$ のベクトル $ \vec{v}_1,\vec{v}_2$ に対して $ \vec{v}_1=f(\vec{u}_1)$, $ \vec{v}_2=f(\vec{u}_2)$ を みたすベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2\in U$ をおく. このとき,

$\displaystyle f(\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_1)= \alpha f(\vec{u}_1)+\beta f(\vec{u}_1)= \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2$    

が成り立つ. つまり, $ \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ である. 任意のベクトル $ \vec{v}_1,\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ と 任意のスカラー $ \alpha,\beta\in K$ に対して, $ \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ が成り立つので, $ \mathrm{Im}\,(f)$$ V$ の部分空間である.

定理 4.43 (核と部分空間)   線形写像 $ f:U\to V$ の 核 $ \mathrm{Ker}\,(f)$$ U$ の部分空間である.


(証明)     核 $ \mathrm{Ker}\,(f)\subset U$ のベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2$ $ f(\vec{u}_1)=\vec{0}_U$, $ f(\vec{u}_2)=\vec{0}_U$ をみたす. このとき,

$\displaystyle f(\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2)= \alpha f(\vec{u}_1)+\beta f(\vec{u}_2)= \alpha\vec{0}_U+\beta\vec{0}_U= \vec{0}_U$    

となる. つまり, $ \alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ である. 任意のベクトル $ \vec{u}_1,\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ と 任意のスカラー $ \alpha,\beta\in K$ に対して, $ \alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ が成り立つので, $ \mathrm{Ker}\,(f)$$ U$ の部分空間である.


平成20年2月2日