4.8 線形写像の像と核
定義 4.40 (像) 線形写像に対して集合
をの像(image)という.
定義 4.41 (核) 線形写像に対して集合
をの核(kernel)という.
定理 4.42 (像と部分空間) 線形写像の像
は
の部分空間である.
(証明) 像
のベクトル
に対して
,
を みたすベクトル
をおく. このとき,
が成り立つ. つまり,である. 任意のベクトル
と 任意のスカラー
に対して,
が成り立つので,
は
の部分空間である.
定理 4.43 (核と部分空間) 線形写像の 核
は
の部分空間である.
(証明) 核
のベクトル
は
,
をみたす. このとき,
となる. つまり,である. 任意のベクトル
と 任意のスカラー
に対して,
が成り立つので,
は
の部分空間である.
平成20年2月2日