4.8 線形写像の像と核

定義 4.40 (像)   線形写像 $f:U\to V$ に対して集合

$$\mathrm{Im}\,(f)=f(U)= \left\{\left.\,{\vec{v}\in V}\,\,\right\vert\,\,{\vec{v}=f(\vec{u}),\,\forall u\in U}\,\right\}$$

を $f$ の像（image）という．

定義 4.41 (核)   線形写像 $f:U\to V$ に対して集合

$$\mathrm{Ker}\,(f)= \left\{\left.\,{\vec{u}\in U}\,\,\right\vert\,\,{f(\vec{u})=\vec{0}_{V}}\,\right\}$$

を $f$ の核（kernel）という．

定理 4.42 (像と部分空間)   線形写像 $f:U\to V$ の像 $\mathrm{Im}\,(f)$ は $V$ の部分空間である．

（証明）     像 $\mathrm{Im}\,(f)\subset V$ のベクトル $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ に対して $\vec{v}_1=f(\vec{u}_1)$, $\vec{v}_2=f(\vec{u}_2)$ を みたすベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2\in U$ をおく． このとき，

$$f(\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_1)= \alpha f(\vec{u}_1)+\beta f(\vec{u}_1)= \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2$$

が成り立つ． つまり， $\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ である． 任意のベクトル $\vec{v}_1,\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ と 任意のスカラー $\alpha,\beta\in K$ に対して， $\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2\in\mathrm{Im}\,(f)$ が成り立つので， $\mathrm{Im}\,(f)$ は $V$ の部分空間である．

定理 4.43 (核と部分空間)   線形写像 $f:U\to V$ の 核 $\mathrm{Ker}\,(f)$ は $U$ の部分空間である．

（証明）     核 $\mathrm{Ker}\,(f)\subset U$ のベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2$ は $f(\vec{u}_1)=\vec{0}_U$, $f(\vec{u}_2)=\vec{0}_U$ をみたす． このとき，

$$f(\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2)= \alpha f(\vec{u}_1)+\beta f(\vec{u}_2)= \alpha\vec{0}_U+\beta\vec{0}_U= \vec{0}_U$$

となる． つまり， $\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ である． 任意のベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ と 任意のスカラー $\alpha,\beta\in K$ に対して， $\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\in\mathrm{Ker}\,(f)$ が成り立つので， $\mathrm{Ker}\,(f)$ は $U$ の部分空間である．

平成20年2月2日