定理 4.47 (退化次数,階数)
線形写像
![$ f:U\to V$](img2195.png)
に関して
が成立する.
(証明)
の基底を
,
,
とし,
の基底を
,
,
とする.
また,
のベクトル
が
をみたすとする.
このとき 1 次関係
に対して
![$ f$](img156.png)
を作用させると
となる.
![$ \vec{v}_1$](img778.png)
,
![$ \cdots$](img598.png)
,
![$ \vec{v}_s$](img2425.png)
は
1 次独立なので
![$ b_1=\cdots=b_s=0$](img2426.png)
となる.
このとき
であり,
![$ \vec{u}_1$](img750.png)
,
![$ \cdots$](img598.png)
,
![$ \vec{u}_r$](img995.png)
は
1 次独立であるか
![$ a_1=\cdots=a_r=0$](img2428.png)
となる.
よって
![$ \vec{u}_1$](img750.png)
,
![$ \cdots$](img598.png)
,
![$ \vec{u}_{r}$](img2429.png)
,
![$ \vec{u}_{r+1}$](img996.png)
,
![$ \cdots$](img598.png)
,
![$ \vec{u}_{r+s}$](img2430.png)
は
1 次独立である.
次に,
![$ U$](img1489.png)
の任意のベクトル
![$ \vec{u}$](img359.png)
を
![$ f$](img156.png)
で写された
ベクトル
![$ f(\vec{u})$](img2431.png)
は
![$ V$](img358.png)
のベクトルであるから,
と書ける.
これより
が成り立つ.
ベクトル
![$ \vec{u}-b_1\vec{u}_{r+1}-\cdots-b_s\vec{u}_{r+s}$](img2435.png)
は
![$ \mathrm{Ker}\,(f)$](img2395.png)
に含まれる.よって
と書けるので,
を得る.
![$ a_1,\cdots,a_r$](img2438.png)
,
![$ b_1,\cdots,b_s$](img2439.png)
は任意であるから,
となる.
以上より,
![$ r+s$](img2441.png)
個のベクトル
![$ \{\vec{u}_1$](img991.png)
,
![$ \cdots$](img598.png)
,
![$ \vec{u}_r$](img995.png)
,
![$ \vec{u}_{r+1},\cdots,\vec{u}_{r+s}\}$](img2442.png)
が
![$ U$](img1489.png)
の基底となる,
よって
![$ \dim(U)=r+s$](img2443.png)
,
![$ \mathrm{null}(f)=\dim(\mathrm{Ker}\,(f))=r$](img2444.png)
,
![$ \mathrm{rank}\,(f)=\dim(\mathrm{Im}\,(f))=s$](img2445.png)
を得る.
例 4.48 (線形写像の像と核の具体例)
線形写像
の像
![$ \mathrm{Im}\,(f)$](img2385.png)
,核
![$ \mathrm{Ker}\,(f)$](img2395.png)
と
それらの次元である階数
![$ \mathrm{rank}\,(f)$](img2448.png)
, 退化次数
![$ \mathrm{null}(f)$](img2449.png)
を求める.
まず
を簡約化すると
となる.
このとき
![$ \vec{b}_1=\vec{e}_1$](img1324.png)
,
![$ \vec{b}_2=\vec{e}_2$](img1325.png)
は
1 次独立であり,その他のベクトルは
と表される.
同じ 1 次関係が
![$ \vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_5$](img1132.png)
に対しても成り立つので,
![$ \vec{a}_1$](img715.png)
,
![$ \vec{a}_2$](img716.png)
は 1 次独立であり,
その他のベクトルは
☆![$\displaystyle )\qquad \vec{a}_3=\vec{a}_1+\vec{a}_2, \quad \vec{a}_4=2\vec{a}_1-\vec{a}_2, \quad \vec{a}_5=\vec{a}_1+2\vec{a}_2$](img2452.png) |
|
となる.
また,方程式
![$ A\vec{x}=\vec{0}$](img515.png)
の解は
★![$\displaystyle )\qquad \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \...
...}-1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+c_3\vec{u}_3$](img2453.png) |
|
と表される.
の核
は方程式
の
解(★)の集合であるから,
となる.
![$ \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}$](img1926.png)
は 1 次独立であり,
![$ \mathrm{Ker}\,(f)$](img2395.png)
の基底となる.
よって退化次数は
と得られる.
の像
の元
は
任意のベクトル
に対して,
により定まる.
(☆)を用いると
と表される.ここで
![$ c_1=x_1+x_3+2x_4+x_5$](img2460.png)
,
![$ c_2=x_2+x_3-x_4+2x_5$](img2461.png)
は任意の実数であるから,
が成り立つ.
![$ \{\vec{a}_1,\,\,\vec{a}_2\}$](img2465.png)
は 1 次独立であり,
![$ \mathrm{Im}\,(f)$](img2385.png)
の基底となる.よって
を得る.
以上より,
核
は方程式
の解空間であるから,
核の任意のベクトルは一般解
であり,
![$ \mathrm{Ker}\,(f)=\left\langle \vec{u}_1,\,\,
\vec{u}_2,\,\,
\vec{u}_3\right\rangle $](img2468.png)
,
![$ \dim(\mathrm{Ker}\,(f))=3$](img2469.png)
と表された.
この結果は
つまり,3 次元空間
![$ \mathrm{Ker}\,(f)$](img2395.png)
内のすべての点が
写像
![$ f$](img156.png)
によりすべて一つの点
![$ \vec{0}\in\mathbb{R}^3$](img2470.png)
に写されることを意味する.
点は零次元の空間である.
よって,写像
![$ f$](img156.png)
は次元を 3 次元退化させている.
それでは,
![$ \vec{0}$](img513.png)
以外の点
![$ \vec{y}\in\mathbb{R}^3$](img2471.png)
に
写される場合はどうであろうか.
つまり,
![$ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$](img2106.png)
をみたす
![$ \vec{x}\in\mathbb{R}^5$](img2456.png)
の集合を求める.
![$ \vec{y}$](img518.png)
を
![$ \vec{y}\in\mathrm{Im}\,(f)$](img2472.png)
となるように選べば,
非同次方程式
![$ A\vec{x}=\vec{y}$](img2473.png)
の一般解が存在する.
このとき,一般解は
となる.
ここで,
![$ P$](img1066.png)
は
![$ A$](img267.png)
の簡約化行列とする.
![$ c_1$](img534.png)
,
![$ c_2$](img535.png)
,
![$ c_3$](img2475.png)
は任意の実数であるから,
方程式
![$ A\vec{x}=\vec{y}$](img2473.png)
の解空間は 3 次元となる.
ただし,この解空間
は原点を通らないのでベクトル空間ではない.
核
![$ \mathrm{Ker}\,(f)$](img2395.png)
を
![$ \vec{q}$](img2055.png)
だけ平行移動した空間となる.
よって,写像
![$ f$](img156.png)
は
任意の
![$ \vec{y}\in\mathrm{Im}\,(f)$](img2472.png)
に対して
3 次元空間
![$ W_{\vec{y}}$](img2477.png)
内のすべての点をひとつの点
![$ \vec{y}$](img518.png)
に写す写像である.
次元を 3 次元退化させている.
![$ \vec{y}$](img518.png)
は
![$ \mathrm{Im}\,(f)$](img2385.png)
のベクトルであり,
![$ \dim(\mathrm{Im}\,(f))=2$](img2478.png)
であるから,
1 次独立となるベクトルを二つ
![$ \vec{y}_1$](img2479.png)
,
![$ \vec{y}_2$](img2480.png)
選べる.
このとき
![$ \vec{q}_1=P\vec{y}_1$](img2481.png)
,
![$ \vec{q}_2=P\vec{y}_2$](img2482.png)
も
1 次独立となる.
![$ \vec{q}_1,\vec{q}_2\not\in\mathrm{Ker}\,(f)$](img2483.png)
であり,
![$ \{\vec{u}_1$](img991.png)
,
![$ \vec{u}_2$](img751.png)
,
![$ \vec{u}_3$](img839.png)
,
![$ \vec{q}_1$](img2484.png)
,
![$ \vec{q}_2\}$](img2485.png)
は
![$ \mathbb{R}^5$](img2486.png)
の基底となる.
よって,
と表される.
これより
が成立する.