4.10 線形写像の合成写像

定義 4.49 (合成写像)   線形写像 $f:U\to V$; $\vec{y}=f(\vec{x})$ と $g:V\to W$; $\vec{z}=g(\vec{y})$ より定まる写像

$$h: U\to W; \qquad \vec{z}=g(f(\vec{x}))$$

を $f$ と $g$ の合成写像（composite）といい，

$$h=g\circ f$$

と表記する．

定理 4.50 (線形写像の合成写像)   線形写像の合成写像もまた線形写像となる．

定理 4.51 (合成写像の表現行列)   線形写像 $f$, $g$ の表現行列をそれぞれ $A$, $B$ とする． このとき， 合成写像 $h=g\circ f$ の表現行列は $C=BA$ となる．

例 4.52 (合成写像の表現行列の具体例)   2 つの写像

$$f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}; \qquad \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x},\quad A:m\times n$$

$$g:\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{l}; \qquad \vec{z}=g(\vec{y})=B\vec{y},\quad B:l\times m$$

を考える．このとき

$$h=g\circ f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{l};$$

$$\vec{z}= g\circ f(\vec{x})= g(f(\vec{x}))= B(A\vec{x})= BA\vec{x}= C\vec{x}, \quad C:l\times n$$

である． 表現行列は

$$C=BA$$

となる．

平成20年2月2日