4.23 点の平面への射影変換
例 4.104 (点の平面への射影)において, 任意の点
から平面
☆
への射影変換を求める. 方程式(☆)の一般解を求めると
より
となる.平面(☆)は
と表せる.の基底
を グラム・シュミットの直交化法で正規直交基底化する.
とおくととなる.
はの正規直交基底となる. ここで点
の位置ベクトルを
とし, 平面へ射影した点の位置ベクトルを
とおく. 射影点
は平面
上にあるので, 基底
を用いて,
と表せる. このとき,
であり,
,
が成り立つ. これより
となり,方向の座標は
と得られる.
方向の座標も 同様にして
と得られる. よって射影点は
となる. 射影変換が
と得られた.
を行列表示する.
の任意の点
を標準基底
で表すと,
であり,これをで写すと
となる. ここで,
より,
と行列表示を得る.の標準基底における表現行列は
となる.![]()
問 4.105 (射影変換の像と階数),
となることを示せ.
問 4.106 (射影変換の格と退化次数) 平面(☆)の法線ベクトルはである.
とおく.
,
となることを示せ.
注意 4.107 (射影変換の正則性)であり
は存在しない. よって射影変換
は正則変換ではない. 例えば
(
) に対して
となる. 直線上のすべての点が原点
に写されるので, 逆元
は存在しない.
問 4.108 (射影変換の表現行列とべき等行列)が成り立つことを示せ.
注意 4.109 (射影変換の表現行列とべき等行列)に対して射影変換
を作用させると,
となる.
は平面
上にあり
である.
に対してさらに
を作用させると
となる.
は既に平面
上にあるので
により動かない. よって
であるから,
となる. 任意の
に対して成り立つので,
を得る.
をみたす行列をべき等行列という. 一般にべき等行列を表現行列にもつ線形変換は射影変換となる.
注意 4.110 (射影変換における直交補空間),
であることと,
が 1 次独立であり
となることから,
を得る. さらに,,
であるから,
と
は互いに
における直交補空間となる.
である.
注意 4.111 (射影変換の固有値空間)のとき,
は既に平面
上にあるので, 射影変換
により動くことはない. すなわち,
が成り立つ. これは固有値の 固有方程式
とみなせる. または, 変換
により ベクトル
のスカラー
倍に写されるともみなせる. すべての
に対して成り立つので,
は固有空間
と等しい. また,
より
は
と
に直和分解される.
であるから,
も固有空間
となる(はずである).
のとき, 平面
の原点
を通る法線上に
があるので,
は 射影変換
により原点
に写される. これは, 変換
により ベクトル
のスカラー
倍に写されるともみなせる. よって,
となる(はずである).
問 4.112 (射影変換の固有値空間)の固有空間を具体的に求めて,
,
が成り立つことを示せ.
平成20年2月2日