4.23 点の平面への射影変換

例 4.104 (点の平面への射影)   $\mathbb{R}^3$ において， 任意の点 $(x_1,x_2,x_3)$ から平面

$$( )\qquad x_1+x_2+x_3=0$$

への射影変換 $f$ を求める． 方程式(☆)の一般解を求めると $x_1=-x_2-x_3$ より

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{... ...ix} + c_2 \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_1\vec{p}_1+c_2\vec{p}_2$$

となる．平面(☆)は

$$H= \left\langle \vec{p}_1,\,\, \vec{p}_2\right\rangle$$

と表せる． $H$ の基底 $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ を グラム・シュミットの直交化法で正規直交基底化する．

$$\vec{q}_1= \frac{\vec{p}_1}{\Vert\vec{p}_1\Vert}= \frac{1}{\sqrt{... ...\vec{p}'_2\Vert}= \frac{-1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$$

とおくと $\left({\vec{q}_i}\,,\,{\vec{q}_j}\right)=\delta_{ij}$ となる．

$$\{\vec{q}_1,\vec{q}_2\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatri... ...ix},\,\, \frac{-1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \right\}$$

は $H$ の正規直交基底となる． ここで点 $(x_1,x_2,x_3)$ の位置ベクトルを $\vec{x}$ とし， 平面へ射影した点の位置ベクトルを $\vec{y}$ とおく． 射影点 $\vec{y}$ は平面 $H$ 上にあるので， 基底 $\{\vec{q}_1,\vec{q}_2\}$ を用いて，

$$\vec{y}=c_1\vec{q}_1+c_2\vec{q}_2$$

と表せる． このとき $\vec{x}-\vec{y}\perp\vec{q}_1$, $\vec{x}-\vec{y}\perp\vec{q}_2$ であり， $\left({\vec{x}-\vec{y}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)=0$, $\left({\vec{x}-\vec{y}}\,,\,{\vec{q}_2}\right)=0$ が成り立つ． これより

$$\left({\vec{x}-\vec{y}}\,,\,{\vec{q}_1}\right) = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)-\left({\vec{y}}\,,\,{\ve... ...,\,{\vec{q}_1}\right)- \left({c_1\vec{q}_1+c_2\vec{q}_2}\,,\,{\vec{q}_1}\right)$$

$$= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)- c_1\left({\vec{q}_1}\,,... ...\vec{q}_2}\,,\,{\vec{q}_1}\right)= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)-c_1=0$$

となり，$\vec{q}_1$ 方向の座標は $c_1=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)$ と得られる． $\vec{q}_2$ 方向の座標も 同様にして $c_2=\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_2}\right)$ と得られる． よって射影点は

$$\vec{y}= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_1}\right)\vec{q}_1+ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{q}_2}\right)\vec{q}_2$$

となる． 射影変換 $f$ が $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ と得られた．

$f$ を行列表示する． $\mathbb{R}^3$ の任意の点 $\vec{x}$ を標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$ で表すと，

$$\vec{x}= x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ x_3\vec{e}_3$$

であり，これを $f$ で写すと

$$\vec{y} =f(\vec{x})= f(x_1\vec{e}_1+ x_2\vec{e}_2+ x_3\vec{e}_3)= x_1f(\vec{e}_1)+ x_2f(\vec{e}_2)+ x_3f(\vec{e}_3)$$

$$= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_1) & f(\vec{e}_2) & f(\vec{e}_3) \end{... ...\begin{bmatrix}f(\vec{e}_1) & f(\vec{e}_2) & f(\vec{e}_3) \end{bmatrix} \vec{x}$$

となる． ここで，

$$f(\vec{e}_1) = \left({\vec{e}_1}\,,\,{\vec{q}_1}\right)\vec{q}_1+ \left({\vec{... ...ix}, \quad f(\vec{e}_3)= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

より，

$$\vec{y}= \begin{bmatrix}f(\vec{e}_1) & f(\vec{e}_2) & f(\vec{e}_3... ...atrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \vec{x} =A\vec{x}$$

と行列表示を得る． $f$ の標準基底における表現行列は

$$A= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

となる．

問 4.105 (射影変換の像と階数)   $\mathrm{Im}\,(f)=H$, $\mathrm{rank}\,(f)=\dim(\mathrm{Im}\,(f))=2$ となることを示せ．

問 4.106 (射影変換の格と退化次数)   平面(☆)の法線ベクトルは $\vec{n}={\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}}^{T}$ である． $N=\left\langle \vec{n}\right\rangle$ とおく． $\mathrm{Ker}\,(f)=N$, $\mathrm{null}(f)=\dim(\mathrm{Ker}\,(f))=1$ となることを示せ．

注意 4.107 (射影変換の正則性)   $\det(A)=0$ であり $A^{-1}$ は存在しない． よって射影変換 $f$ は正則変換ではない． 例えば $\vec{x}=c\vec{n}$( $\forall c\in\mathbb{R}$) に対して $f:\vec{x}\mapsto\vec{y}=\vec{0}$ となる． 直線上のすべての点が原点 $\vec{0}$ に写されるので， 逆元 $f^{-1}(\vec{0})$ は存在しない．

問 4.108 (射影変換の表現行列とべき等行列)   $A^2=A$ が成り立つことを示せ．

注意 4.109 (射影変換の表現行列とべき等行列)   $\vec{x}\in\mathbb{R}^3$ に対して射影変換 $f$ を作用させると， $f:\vec{x}\mapsto\vec{y}=A\vec{x}$ となる． $\vec{y}$ は平面 $H$ 上にあり $\vec{y}\in H$ である． $\vec{y}$ に対してさらに $f$ を作用させると $f:\vec{y}\mapsto\vec{z}=A\vec{y}=A(A\vec{x})=A^2\vec{x}$ となる． $\vec{y}$ は既に平面 $H$ 上にあるので $f$ により動かない． よって $\vec{z}=\vec{y}$ であるから， $A^2\vec{x}=A\vec{x}$ となる． 任意の $\vec{x}$ に対して成り立つので，$A^2=A$ を得る． $A^2=A$ をみたす行列をべき等行列という． 一般にべき等行列を表現行列にもつ線形変換は射影変換となる．

注意 4.110 (射影変換における直交補空間)   $\dim(H)=2$, $\dim(N)=1$ であることと， $\vec{n},\vec{q}_1,\vec{q}_2$ が 1 次独立であり $H\cap N=\{\vec{0}\}$ となることから，

$$\mathbb{R}^3=H\oplus N$$

を得る． さらに， $\vec{n}\perp\vec{q}_1$, $\vec{n}\perp\vec{q}_2$ であるから， $H$ と $N$ は互いに $\mathbb{R}^3$ における直交補空間となる．

$$H=N^{\perp}, \qquad N=H^{\perp}$$

である．

注意 4.111 (射影変換の固有値空間)   $\vec{x}\in H$ のとき， $\vec{x}$ は既に平面 $H$ 上にあるので， 射影変換 $f$ により動くことはない． すなわち，

$$f(\vec{x})=A\vec{x}=\vec{x}$$

が成り立つ． これは固有値 $\lambda=1$ の 固有方程式 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ とみなせる． または， 変換 $f$ により ベクトル $\vec{x}$ のスカラー $\lambda=1$ 倍に写されるともみなせる． すべての $\vec{x}\in H$ に対して成り立つので， $H$ は固有空間 $W(1;f)$ と等しい． また， $\mathbb{R}^3=H\oplus N$ より $\mathbb{R}^3$ は $H$ と $N$ に直和分解される． $H=W(1;f)$ であるから， $N$ も固有空間 $W(\lambda';f)$ となる（はずである）． $\vec{x}\in N$ のとき， 平面 $H$ の原点 $\vec{0}$ を通る法線上に$\vec{x}$ があるので， $\vec{x}$ は 射影変換 $f$ により原点 $\vec{0}$ に写される． これは， 変換 $f$ により ベクトル $\vec{x}$ のスカラー $\lambda'=0$ 倍に写されるともみなせる． よって， $N=W(0;\lambda)$ となる（はずである）．

問 4.112 (射影変換の固有値空間)   $f$ の固有空間を具体的に求めて， $H=W(1;f)$, $N=W(0;f)$ が成り立つことを示せ．

平成20年2月2日