4.22 演習問題 〜 直交変換

問 4.95 (直交行列)   次の行列は直交行列であることを示せ．

(1) $${ \begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}} & 0 & \displa... ...laystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}} & \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}}} \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \cos\theta\sin\phi... ...n\theta \\ \sin\theta\sin\phi & \sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}}$$

問 4.96 (直交行列)   次の行列が直交行列となるように $a,b,c$ を定めよ．

(1) $${ \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ a & c & -b \\ a & b & c \end{bmatrix}}$$      (2) $${ \begin{bmatrix} b & a & c \\ a & 1 & a \\ c & a & -b \end{bmatrix}}$$      (3) $${ \begin{bmatrix} c & -b & a \\ b & c & a \\ a & a & 1 \end{bmatrix}}$$      (4) $${ \begin{bmatrix} a & -b & -c \\ a & b & -c \\ a & 0 & 2c \end{bmatrix}}$$      (5) $${ \begin{bmatrix} a & 2a & a \\ b & 0 & -b \\ c & -c & c \end{bmatrix}}$$

問 4.97 (直交行列)   次のベクトルを正規直交化し， 列ベクトルにならべて直交行列を作れ．

(1) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}$$          (2) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}}$$          (3) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}$$          (4) $${ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}$$

問 4.98 (回転行列)   回転行列 $R_{\theta}$ を

$$R_{\theta}= \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

とする．次の関係式を示せ．
    (1)   $R_{\theta}{R_{\theta}}^{T}=E$     (2)   $R_{\theta+\phi}=R_{\theta}R_{\phi}$     (3)   $R_{\theta}^{-1}={R_{\theta}=R_{-\theta}}^{T}$

問 4.99 (回転変換)   $\mathbb{R}^2$ のベクトル $${ \vec{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{bmatrix}}$$ を原点を中心に反時計回りに $${\frac{\pi}{4}}$$, $${\frac{\pi}{3}}$$, $${\frac{2\pi}{3}}$$, $${-\frac{\pi}{6}}$$ 回転させた ベクトル $\vec{y}$ をそれぞれ求めよ． また，変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ の表現行列をそれぞれ求めよ．

問 4.100 (鏡映変換)   $\mathbb{R}^2$ のベクトル $${ \vec{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{bmatrix}}$$ を 直線 $x_1=0$, $x_2=0$, $x_1=x_2$, $x_1+x_2=0$, $2x_1-x_2=0$ に対して鏡映変換したベクトル $\vec{y}$ （$\vec{x}$ と $\vec{y}$ は直線に対して線対称）をそれぞれ求めよ． また，変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$ の表現行列をそれぞれ求めよ．

問 4.101 (鏡映変換)   次の行列による線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\vec{y}=A\vec{x}$ は ある直線に対する鏡映変換である． 対称軸の直線の方程式を求めよ．
    (1)   $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$     (2)   $A= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

問 4.102 (回転行列と鏡映変換)   $M= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ は $x_{1}$ 軸に対する鏡映変換行列である． このとき，次の関係式をみたす $\theta$ を定めよ．
    (1)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=R_{2\theta}M =R_{\theta}MR_{-\theta}}$$     (2)   $${ \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=R_{2\theta}M =R_{\theta}MR_{-\theta}}$$

問 4.103 (回転行列と鏡映変換)   $\mathbb{R}^2$ のベクトル $${ \vec{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{bmatrix}}$$ を原点を中心に反時計回りに $${\frac{\pi}{4}}$$ 回転したベクトルを $\vec{y}$ とする． $\vec{y}$ を $x_1$ 軸に対して鏡映変換したベクトルを $\vec{z}$ とする． $\vec{z}$ を $${-\frac{\pi}{6}}$$ 回転したベクトルを $\vec{w}$ とする． $\vec{w}$ を直線 $x_1=x_2$ に対して 鏡映変換したベクトルを $\vec{u}$ とする． $\vec{u}$ を $${\frac{2\pi}{3}}$$ 回転したベクトルを $\vec{v}$ とする． このとき，ベクトル $\vec{y}$, $\vec{z}$, $\vec{w}$, $\vec{u}$, $\vec{v}$ を求めよ． また，変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$, $\vec{y}\mapsto\vec{z}$, $\vec{z}\mapsto\vec{w}$, $\vec{w}\mapsto\vec{u}$, $\vec{u}\mapsto\vec{v}$, $\vec{x}\mapsto\vec{z}$, $\vec{x}\mapsto\vec{w}$, $\vec{x}\mapsto\vec{u}$, $\vec{x}\mapsto\vec{v}$ の標準基底に関する表現行列をそれぞれ求めよ． さらに，この表現行列が直交行列であることを示せ．

平成20年2月2日