4.21 $\mathbb{R}^3$ における回転

例 4.91 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   直交変換

$$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;$$

$$\vec{y}= \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \vec{x}= R\vec{x}$$

を考える． この写像は $x_3$ 軸を中心に $\theta$ 回転を表す． $R{R}^{T}=E$ より $R$ は直交行列である．

例 4.92 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   $x_1$ 軸まわりの回転は

$$R_1= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ 0 & \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{bmatrix}$$

と表され， $x_2$ 軸まわりの回転は

$$R_2= \begin{bmatrix}\sin\theta_2 & 0 & \cos\theta_2 \\ 0 & 1 & 0 \\ \cos\theta_2 & 0 & -\sin\theta_2 \end{bmatrix}$$

と表され， $x_3$ 軸まわりの回転は

$$R_3= \begin{bmatrix}\cos\theta_3 & -\sin\theta_3 & 0 \\ \sin\theta_3 & \cos\theta_3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

と表される． $R_1$, $R_2$, $R_3$ は直交行列である．

注意 4.93 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   $x_1$ 軸まわりに回転し，その後 $x_2$ 軸まわりに回転させるとき， 表現行列は $R_2R_1$ である．これもまた直交行列である． 同様に $R_1R_2$, $R_1R_3$, $\cdots$ もまた回転を表す． ただし， $R_iR_j\neq R_jR_i$ であることに注意． 回転させる順番が異なれば違う回転を表す．

問 4.94 ( $\mathbb{R}^3$ の回転)   原点を通り方向ベクトルが $\vec{u}= {\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}^{T}$ の直線を軸とする回転を考える． この回転変換の表現行列を求めよ．

平成20年2月2日