4.20 $\mathbb{R}^2$ における鏡映変換

定義 4.86 (鏡映変換)   typing...

例 4.87 (鏡映変換の具体例)   $x_1$ 軸に関する鏡映変換を考える． 任意の点 $(x_1,x_2)$ は $(y_1,y_2)=(x_1,-x_2)$ に写されるので， 鏡映変換は

$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\qquad \vec{y}= \begin{bmatrix}y_1 ... ... & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = A\vec{x}$$

と表される．表現行列は $${A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$$ である．

例 4.88 (鏡映変換の具体例)   $x_2$ 軸に関する鏡映変換を考える． 任意の点 $(x_1,x_2)$ は $(y_1,y_2)=(-x_1,x_2)$ に写されるので， 鏡映変換は

$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\qquad \vec{y}= \begin{bmatrix}y_1 ... ...1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = A\vec{x}$$

と表される．表現行列は $${A= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$ である．

例 4.89 (鏡映変換の具体例)   直線 $x_2=x_1$ に関する鏡映変換を考える． この直線は $x_1$ 軸に対して $${\frac{\pi}{4}}$$ の角度であるから， $${-\frac{\pi}{4}}$$ 回転するとこの直線は $x_1$ 軸と重なる． このとき鏡映変換は $x_1$ 軸に対する鏡映変換とみなせる． 鏡映変換された点を $${\frac{\pi}{4}}$$ 回転すると 直線 $x_2=x_1$ に関する鏡映変換とみせる． よって，合成変換となるので表現行列は

$$\begin{bmatrix}\cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\fra... ...& \cos\frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

となる． 直線 $x_2=x_1$ に関する鏡映変換は

$$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\qquad \vec{y}=A\vec{x}= \begin{bma... ...egin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_2 \\ x_1 \end{bmatrix}$$

である． 表現行列は $${A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$$ である． 任意の点 $(x_1,x_2)$ は $(x_2,x_1)$ に写される．

注意 4.90 (鏡映変換行列と直交行列)   鏡映変換の表現行列は直交行列となる．

平成20年2月2日