4.19 $\mathbb{R}^2$ における回転

$\mathbb{R}^2$ 内での原点を中心とする角 $\theta$ の回転移動を考える． 点 $(x_1,x_2)$ から点 $(y_1,y_2)$ への変換を $f$ とする． このとき， 標準基底 $\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ は

$$\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\... ...d{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix} \right\}$$

へ写されるので，

$$f(\vec{e}_1)=\vec{u}_1,\quad f(\vec{e}_2)=\vec{u}_2$$

が成り立つ． よって

$$\vec{y}= f(\vec{x})= f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2)= x_1f(\vec{e}_1... ...ec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = R_\theta\vec{x}$$

となる． ただし，

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \quad \vec{y}= ... ...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

とおく． 以上より， 原点を中心として角 $\theta$ の回転変換は

$$\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the... ...\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

と表される． この逆変換は

$$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the... ... -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$$

と表される． $R_\theta$ を回転行列とよぶ．

問 4.84 (回転行列)   次の関係式が成り立つことを示せ．

$$(1) \quad R_\theta{R_\theta}^{T}=E (2) \quad {R_\theta}^{-1}={R_\theta}^{T}=R_{-\theta} (3) \quad R_{\varphi}R_{\theta}=R_{\varphi+\theta}$$

注意 4.85 (回転行列と鏡映変換)   $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ のすべての直交行列 $A{A}^{T}=E$ は 回転変換行列 $R_{\theta}$ と $x_1$ 軸に対する鏡映変換行列 $${M= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$$ の積の組合わせで表される．

平成20年2月2日