4.19 $ \mathbb{R}^2$ における回転

$ \mathbb{R}^2$ 内での原点を中心とする角 $ \theta$ の回転移動を考える. 点 $ (x_1,x_2)$ から点 $ (y_1,y_2)$ への変換を $ f$ とする. このとき, 標準基底 $ \{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2\}= \left\{ \begin{bmatrix}\cos\theta \\...
...d{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta \end{bmatrix} \right\}$    

へ写されるので,

$\displaystyle f(\vec{e}_1)=\vec{u}_1,\quad f(\vec{e}_2)=\vec{u}_2$    

が成り立つ. よって

$\displaystyle \vec{y}= f(\vec{x})= f(x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2)= x_1f(\vec{e}_1...
...ec{u}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = R_\theta\vec{x}$    

となる. ただし,

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \quad \vec{y}= ...
...begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$    

とおく. 以上より, 原点を中心として角 $ \theta$回転変換

$\displaystyle \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the...
...\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$    

と表される. この逆変換は

$\displaystyle \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos\the...
... -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$    

と表される. $ R_\theta$回転行列とよぶ.

4.84 (回転行列)   次の関係式が成り立つことを示せ.

$\displaystyle (1)$ $\displaystyle \quad R_\theta{R_\theta}^{T}=E$ $\displaystyle (2)$ $\displaystyle \quad {R_\theta}^{-1}={R_\theta}^{T}=R_{-\theta}$ $\displaystyle (3)$ $\displaystyle \quad R_{\varphi}R_{\theta}=R_{\varphi+\theta}$    

注意 4.85 (回転行列と鏡映変換)   $ A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ のすべての直交行列 $ A{A}^{T}=E$ は 回転変換行列 $ R_{\theta}$$ x_1$ 軸に対する鏡映変換行列 $ \displaystyle{M=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}}$ の積の組合わせで表される.


平成20年2月2日