4.18 鏡映変換

4.82 (直交変換の具体例)   線形変換 $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$,

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$    

を考える. $ A{A}^{T}=E$ となるので $ A$ は直交行列である. 2 つのベクトル

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \qquad \vec{x}'= \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$    

$ f$ で写すと

$\displaystyle \vec{y}=A\vec{x}= \begin{bmatrix}x_2 \\ x_1 \end{bmatrix}, \qquad \vec{y}'=A\vec{x}'= \begin{bmatrix}x'_2 \\ x'_1 \end{bmatrix}$    

となる. このとき

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= x_1x'_1+x_2x'_2= x_2x'_2+x_1x'_1= \left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$    

となるから, $ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ を得る. よって $ f$ は直交変換である. またこのとき,

$\displaystyle \Vert\vec{x}\Vert=\Vert\vec{y}\Vert, \quad \Vert\vec{x}'\Vert=\Ve...
...rac{\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)}{\Vert\vec{y}\Vert\Vert\vec{y}'\Vert}$    

が成り立つ.

$ f$ は直線 $ x_1=x_2$ に対する鏡映変換である.

4.83 (直交変換の具体例)   直交変換 $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$,

$\displaystyle \vec{y}= \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}= A\vec{x}= \begi...
...gin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1 \\ -x_2 \end{bmatrix}$    

$ x_1$ 軸に対する鏡映変換である.


平成20年2月2日