4.17 直交変換と直交行列
定理 4.81 (直交変換と直交行列) 線形変換が 直交変換であることと,
の表現行列が直交行列であることとは, 必要十分条件である.
(証明) (必要条件)
,
,
を
の正規直交基底とする.
が直交変換であるとき,
,
,
も 正規直交基底となる. また, 正規直交基底
,
,
から 正規直交基底
,
,
への 基底の変換行列
は直交行列であり,
をみたす. この式よりは
の表現行列ともみなせる. よって直交変換
の表現行列
は直交行列である. (十分条件)
を直交行列とする.
とおく.このとき
をみたす.よっては直交変換である.
平成20年2月2日