4.17 直交変換と直交行列

定理 4.81 (直交変換と直交行列)   線形変換 $f:V\to V$ が 直交変換であることと， $f$ の表現行列が直交行列であることとは， 必要十分条件である．

（証明）     （必要条件） $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ を $V$ の正規直交基底とする． $f$ が直交変換であるとき， $\{f(\vec{u}_1)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)\}$ も 正規直交基底となる． また， 正規直交基底 $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ から 正規直交基底 $\{f(\vec{u}_1)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)\}$ への 基底の変換行列 $A$ は直交行列であり，

$$\left(f(\vec{u}_1),\,\, \cdots,\,\, f(\vec{u}_n)\right)= \left(\vec{u}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_n\right)A$$

をみたす． この式より $A$ は $f$ の表現行列ともみなせる． よって直交変換 $f$ の表現行列 $A$ は直交行列である． （十分条件） $A$ を直交行列とする．

$$\vec{y}=A\vec{x}, \quad \vec{y}'=A\vec{x}$$

とおく．このとき

$$\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right) = \left({A\vec{x}}\,,\,{A\vec{x}'}\right)= {(A\vec{x})}^{T}A\vec{... ...{A}^{T}A)\vec{x}'= {\vec{x}}^{T}E\vec{x}= \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)$$

をみたす．よって $f$ は直交変換である．

平成20年2月2日