4.16 直交変換

定義 4.74 (直交変換)   内積空間 $ V$ において, 線形変換 $ f:V\to V$; $ \vec{y}=f(\vec{x})$

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= \left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right), \qquad \forall \vec{x},\vec{x}'\in V$    

をみたすとき, $ f$直交変換(orthogonal transformation)という.

定理 4.75 (直交変換)   内積空間 $ V$ において, $ \{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ を 正規直交基底とする. 線形変換 $ f:V\to V$; $ \vec{y}=f(\vec{x})$ が 直交変換となるための必用十分条件は, $ \{f(\vec{u}_1)$, $ \cdots$, $ f(\vec{u}_n)\}$ が 正規直交基底となることである.


(証明)     (必用条件) $ f$ が直交変換であれば $ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)$ となるで,

$\displaystyle \left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)= \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}.$    

(十分条件) $ \{f(\vec{u}_1)$, $ \cdots$, $ f(\vec{u}_n)\}$ を 正規直交基底とする. なすわち, $ \left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)=\delta_{ij}$ とする. 任意のベクトル $ \vec{x},\vec{x}'\in V$

$\displaystyle \vec{x}=x_1\vec{u}_1+\cdots+x_n\vec{u}_n, \qquad \vec{x}'=x'_1\vec{u}_1+\cdots+x'_n\vec{u}_n$    

と表される. このとき

  $\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= \left({\sum_{i=1}^{n}x_i\v...
...ht)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\delta_{ij}= \sum_{i=1}^{n}x_{i}x'_{i},$    
  $\displaystyle \left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)= \left({f\left(\sum_{...
...eft({\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i)}\,,\,{\sum_{i=1}^{n}x'_if(\vec{u}_i)}\right)$    
  $\displaystyle \qquad\qquad= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\left({f(\vec{u}...
...right) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\delta_{ij} = \sum_{i=1}^{n}x_ix'_i$    

となる. よって $ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)$ を得る.

定理 4.76 (直交変換の内積の不変性)   線形変換 $ f$ が直交変換であるための必用十分条件は

$\displaystyle \Vert\vec{x}\Vert=\Vert f(\vec{x})\Vert$    

である.


(証明)     (必用条件) $ f$ が直交変換であれば $ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ であるから, $ \vec{x}=\vec{x}'$ とおくと, $ \vec{y}=\vec{y}'$ となり, $ \Vert\vec{x}\Vert^2=\Vert\vec{y}\Vert^2$ を得る. (十分条件) $ \{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ を正規直交基底とする. 任意のベクトル $ \vec{x}$

$\displaystyle \vec{x}=x_1\vec{u}_1+\cdots+x_n\vec{u}_n$    

と表す. このとき

$\displaystyle \Vert\vec{x}\Vert^2$ $\displaystyle = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \left({\sum_{i=1}^{n}x_i\...
...j}\right)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j\delta_{ij}= \sum_{i=1}^{n}x_i{}^2$    
  $\displaystyle =x_1{}^2+\cdots+x_n{}^2,$    
$\displaystyle \Vert f(\vec{x})\Vert^2$ $\displaystyle = \left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x})}\right)= \left({f\left(\sum_...
...eft({\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i))}\,,\,{\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i)}\right)$    
  $\displaystyle = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j \left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(...
...}_i)\Vert^2+ \sum_{i\neq j}x_ix_j\left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)$    

となる. $ x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$ は任意であり, 恒等式 $ \Vert\vec{x}\Vert^2=\Vert f(\vec{x})\Vert^2$ が成り立つためには

$\displaystyle \left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)=\delta_{ij}$    

をみたす必要がある. よって, $ \{f(\vec{u}_1)$, $ \cdots$, $ f(\vec{u}_n)\}$ は 正規直交基底であり,$ f$ は直交変換となる.

注意 4.77 (直交変換のノルムの不変性)   直交変換 $ f$ において,長さは不変である.

定理 4.78 (直交変換の角の不変性)   直交変換 $ f$ において,角度は不変である.


(証明)     $ \vec{y}=f(\vec{x})$, $ \vec{y}'=f(\vec{x}')$ とおく. $ \Vert\vec{x}\Vert=\Vert\vec{y}\Vert$, $ \Vert\vec{x}'\Vert=\Vert\vec{y}'\Vert$, $ \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ より,

$\displaystyle \frac{\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)} {\Vert\vec{x}\Vert\V...
...ac{\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)} {\Vert\vec{y}\Vert\Vert\vec{y}'\Vert}$    

を得る. $ \vec{x}$, $ \vec{x}'$ のなす角と $ \vec{y}$, $ \vec{y}'$ のなす角とは等しい.

注意 4.79 (合同変換)   直交変換は合同変換のひとつである. 合同変換(congruent transformation)とは, 長さと角を不変に保つ変換のことをいう. 合同変換で写される図形は,変換前の図形と後の図形とは合同となる. また,角を不変に保ち,長さはある定数倍になる変換のことを 相似変換(similarity transformation)という. 角を不変に保つ変換を等角変換(isometric transformation)という.

注意 4.80 (合同変換)   回転変換鏡映変換は合同変換である.


平成20年2月2日