4.16 直交変換

定義 4.74 (直交変換)   内積空間 $V$ において， 線形変換 $f:V\to V$; $\vec{y}=f(\vec{x})$ が

$$\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= \left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right), \qquad \forall \vec{x},\vec{x}'\in V$$

をみたすとき， $f$ を直交変換（orthogonal transformation）という．

定理 4.75 (直交変換)   内積空間 $V$ において， $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ を 正規直交基底とする． 線形変換 $f:V\to V$; $\vec{y}=f(\vec{x})$ が 直交変換となるための必用十分条件は， $\{f(\vec{u}_1)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)\}$ が 正規直交基底となることである．

（証明）     (必用条件) $f$ が直交変換であれば $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)$ となるで，

$$\left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)= \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}.$$

(十分条件) $\{f(\vec{u}_1)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)\}$ を 正規直交基底とする． なすわち， $\left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)=\delta_{ij}$ とする． 任意のベクトル $\vec{x},\vec{x}'\in V$ は

$$\vec{x}=x_1\vec{u}_1+\cdots+x_n\vec{u}_n, \qquad \vec{x}'=x'_1\vec{u}_1+\cdots+x'_n\vec{u}_n$$

と表される． このとき

$$\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)= \left({\sum_{i=1}^{n}x_i\v... ...ht)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\delta_{ij}= \sum_{i=1}^{n}x_{i}x'_{i},$$

$$\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)= \left({f\left(\sum_{... ...eft({\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i)}\,,\,{\sum_{i=1}^{n}x'_if(\vec{u}_i)}\right)$$

$$\qquad\qquad= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\left({f(\vec{u}... ...right) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix'_j\delta_{ij} = \sum_{i=1}^{n}x_ix'_i$$

となる． よって $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x}')}\right)$ を得る．

定理 4.76 (直交変換の内積の不変性)   線形変換 $f$ が直交変換であるための必用十分条件は

$$\Vert\vec{x}\Vert=\Vert f(\vec{x})\Vert$$

である．

（証明）     (必用条件) $f$ が直交変換であれば $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ であるから， $\vec{x}=\vec{x}'$ とおくと， $\vec{y}=\vec{y}'$ となり， $\Vert\vec{x}\Vert^2=\Vert\vec{y}\Vert^2$ を得る． (十分条件) $\{\vec{u}_1$, $\cdots$, $\vec{u}_n\}$ を正規直交基底とする． 任意のベクトル $\vec{x}$ を

$$\vec{x}=x_1\vec{u}_1+\cdots+x_n\vec{u}_n$$

と表す． このとき

$$\Vert\vec{x}\Vert^2 = \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \left({\sum_{i=1}^{n}x_i\... ...j}\right)= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j\delta_{ij}= \sum_{i=1}^{n}x_i{}^2$$

$$=x_1{}^2+\cdots+x_n{}^2,$$

$$\Vert f(\vec{x})\Vert^2 = \left({f(\vec{x})}\,,\,{f(\vec{x})}\right)= \left({f\left(\sum_... ...eft({\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i))}\,,\,{\sum_{i=1}^{n}x_if(\vec{u}_i)}\right)$$

$$= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_j \left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(... ...}_i)\Vert^2+ \sum_{i\neq j}x_ix_j\left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)$$

となる． $x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$ は任意であり， 恒等式 $\Vert\vec{x}\Vert^2=\Vert f(\vec{x})\Vert^2$ が成り立つためには

$$\left({f(\vec{u}_i)}\,,\,{f(\vec{u}_j)}\right)=\delta_{ij}$$

をみたす必要がある． よって， $\{f(\vec{u}_1)$, $\cdots$, $f(\vec{u}_n)\}$ は 正規直交基底であり，$f$ は直交変換となる．

注意 4.77 (直交変換のノルムの不変性)   直交変換 $f$ において，長さは不変である．

定理 4.78 (直交変換の角の不変性)   直交変換 $f$ において，角度は不変である．

（証明）     $\vec{y}=f(\vec{x})$, $\vec{y}'=f(\vec{x}')$ とおく． $\Vert\vec{x}\Vert=\Vert\vec{y}\Vert$, $\Vert\vec{x}'\Vert=\Vert\vec{y}'\Vert$, $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)=\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)$ より，

$$\frac{\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{x}'}\right)} {\Vert\vec{x}\Vert\V... ...ac{\left({\vec{y}}\,,\,{\vec{y}'}\right)} {\Vert\vec{y}\Vert\Vert\vec{y}'\Vert}$$

を得る． $\vec{x}$, $\vec{x}'$ のなす角と $\vec{y}$, $\vec{y}'$ のなす角とは等しい．

注意 4.79 (合同変換)   直交変換は合同変換のひとつである． 合同変換（congruent transformation）とは， 長さと角を不変に保つ変換のことをいう． 合同変換で写される図形は，変換前の図形と後の図形とは合同となる． また，角を不変に保ち，長さはある定数倍になる変換のことを 相似変換（similarity transformation）という． 角を不変に保つ変換を等角変換（isometric transformation）という．

注意 4.80 (合同変換)   回転変換と鏡映変換は合同変換である．

平成20年2月2日