4.15 直交行列と正規直交系

定理 4.69 (直交行列と正規直交系)   行列 $ A$ が直交行列であることと, 行列 $ A$ の列ベクトルまたは行ベクトルが正規直交系であることとは, 必要十分条件である.


(証明)     直交行列 $ A$ を列ベクトルに分割し

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$    

とおく. $ {A}^{T}A=E$ より,

$\displaystyle {A}^{T}A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}{\vec{a}_{1}}^{T} \\ {\vec{a}_{2}}^{T} \\ \cdots...
...a}_{n}}^{T}\vec{a}_{2} & \cdots & {\vec{a}_{n}}^{T}\vec{a}_{n} \\ \end{bmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{bmatrix}\left({\vec{a}_{1}}\,,\,{\vec{a}_{1}}\right) & \...
... & 1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =E$    

となるので,

$\displaystyle \left({\vec{a}_{i}}\,,\,{\vec{a}_{j}}\right)=\delta_{ij}$    

を得る. 行ベトクルに対しても同様の操作で $ A{A}^{T}=E$ より示される.

定理 4.70 (直交行列と正規直交基底)   内積空間 $ V$ において, $ \{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ $ \{\vec{v}_1$, $ \cdots$, $ \vec{v}_n\}$ を正規直交基底とする. このとき,基底 $ \{\vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n\}$ から $ \{\vec{v}_1$, $ \cdots$, $ \vec{v}_n\}$ への 変換行列 $ P$ は直交行列となる.


(証明)     $ P$ は基底の変換行列なので,

$\displaystyle \left(\vec{v}_1,\,\, \cdots,\,\, \vec{v}_n\right)= \left(\vec{u}_...
...\right)P, \qquad P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \cdots & \vec{p}_n \end{bmatrix}$    

と書ける.これより,

$\displaystyle \vec{v}_{i}= \sum_{k=1}^{n}p_{ki}\vec{u}_{k}$    

である. この式と $ \left({\vec{u}_{i}}\,,\,{\vec{u}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ より

$\displaystyle \left({\vec{v}_i}\,,\,{\vec{v}_j}\right)$ $\displaystyle = \left({\sum_{k=1}^{n}p_{ki}\vec{u}_{k}}\,,\,{\sum_{k=1}^{n}p_{k...
...um_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n} p_{ki}p_{lj}\delta_{kl} = \sum_{k=1}^{n}p_{ki}p_{kj}$    
  $\displaystyle =\left({\vec{p}_{i}}\,,\,{\vec{p}_{j}}\right)$    

を得る. $ \left({\vec{v}_{i}}\,,\,{\vec{v}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ より $ \left({\vec{p}_{i}}\,,\,{\vec{p}_{j}}\right)=\delta_{ij}$ が成り立つ. $ P$ の列ベクトルが正規直交系となるので, $ P$ は直交行列である.

4.71 (直交行列の具体例)   次の行列は直交行列であることを示せ.

  $\displaystyle E= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bma...
... \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 &...
... 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \\ 0 & -\cos\theta & \sin\theta \end{bmatrix}$    

4.72 (直交行列の具体例)   直交行列 $ A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ はすべて

$\displaystyle A$ $\displaystyle = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\th...
...in{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \\ \end{bmatrix}$    

の形で表される. これを示せ.

4.73 (直交行列の具体例)   グラム・シュミットの直交化法で正規直交化されたベクトル

$\displaystyle \{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}= \left\{ \frac{1}{\sqrt...
...rix},\,\, \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right\}$    

を列ベクトルとして並べた行列

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \fra...
...\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}$    

は直交行列となる.


平成20年2月2日