4.14 直交行列

定義 4.64 (直交行列)   行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ が

$$A{A}^{T}={A}^{T}A=E$$

をみたすとき $A$ を 直交行列（orthogonal matrix）という．

定理 4.65 (直交行列の行列式)   直交行列の行列式は

$$\det(A)=\pm 1$$

である．

（証明）     $A{A}^{T}=E$ より，両辺の行列式をとると

$$\det(A{A}^{T})=\det(A)\det({A}^{T})=(\det(A))^2=\det(E)=1$$

となるので $\det(A)=\pm1$ を得る．

定理 4.66 (直交行列の正則性)   直交行列は正則である．

（証明）     $\det(A)=\pm1\ne0$ であるから．

定理 4.67 (直交行列の逆行列)   直交行列の逆行列は

$$A^{-1} ={A}^{T}$$

であり，$A^{-1}$ もまた直交行列である．

（証明）     $A$ は正則であるか $A^{-1}$ を $A{A}^{T}=E$ に左から掛けると

$$A^{-1}A{A}^{T}=A^{-1}E \quad\Rightarrow\quad {A}^{T}=A^{-1}$$

を得る．

定理 4.68 (直交行列の積)   直交行列の積もまた直交行列である．

（証明）     $A$, $B$ を直交行列として，

$$AB{(AB)}^{T}=A(B{B}^{T}){A}^{T}=AEA{A}^{T}=A{A}^{T}=E.$$

平成20年2月2日