4.13 演習問題 〜 像,核,正則変換

4.61 (像,核,階数,退化次数)   次の写像の核と像の基底の組をそれぞれ求め,退化次数と階数を求めよ. また,$ f$ が正則であるか否か述べよ.

(1) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}}$          (2) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
4 & -6 \\
2 & -3
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(3) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
6 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}}$          (4) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(5) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
-3 & -1
\end{bmatrix}\vec{x}}$          (6) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
-2 & 3 \\
4 & -6
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(7) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
-2 & 6 \\
-3 & 9
\end{bmatrix}\vec{x}}$          (8) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(9) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
2 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}}$          (10) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^2\to\in\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
0 & 2 \\
-1 & 5
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(11) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1\\
0 & 2 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}}$      (12) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
5 & 7 & -1
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(13) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}}$      (14) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 \\
3 & -1 & -2 \\
1 & -5 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(15) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & -3 \\
-6 & 3 & 9 \\
-4 & 2 & 6
\end{bmatrix}\vec{x}}$      (16) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -6 \\
-3 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(17) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
2 & -2 & 3 \\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}}$      (18) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3 \\
0 & -1 & 2 \\
2 & 3 & -4
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(19) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 4 & 8 \\
1 & 2 & -2 & 3
\end{bmatrix}\vec{x}}$      (20) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 0
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(21) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & -...
... 1 & 0 & 1 \\
-2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 2 & 1 & 1
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(22) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
0 & 1...
... & -1 & -4 \\
1 & 1 & 4 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 2 & -2 & -5
\end{bmatrix}\vec{x}}$

(23) $ \displaystyle{f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4;
f(\vec{x})=
\begin{bmatrix}
1 & 0...
... & -8 & 7 \\
-1 & 2 & 0 & -2 & 3 \\
0 & 2 & -1 & -5 & 5
\end{bmatrix}\vec{x}}$

4.62 (線形変換の像,核,階数,退化次数)   「演習問題 〜 線形写像の表現行列」の 線形写像の像,核,階数,退化次数をそれぞれ求めよ. また,写像が正則であるか否か述べよ.

4.63 (合成写像)   線形写像 $ f$ の表現行列を $ A$ とし, 線形写像 $ g$ の表現行列を $ B$ とする. 合成写像 $ g\circ f$ の表現行列を求めよ.

(1) $ \displaystyle{A=
\begin{bmatrix}
1 & a \\
a & 1
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{B=
\begin{bmatrix}
1 & b \\
b & 1
\end{bmatrix}}$          (2) $ \displaystyle{A=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 4 \\
-3 & -2 & 3 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{B=
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -3 \\
2 & 0 & 1 \\
-3 & -2 & 0
\end{bmatrix}}$

(3) $ \displaystyle{A=
\begin{bmatrix}
3 & -3 & 2 \\
2 & 1 & -1 \\
-3 & 0 & 0
\end{bmatrix}}$, $ \displaystyle{B=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
2 & -1 & 3
\end{bmatrix}}$


平成20年2月2日