4.13 演習問題 〜 像，核，正則変換

問 4.61 (像，核，階数，退化次数)   次の写像の核と像の基底の組をそれぞれ求め，退化次数と階数を求めよ． また，$f$ が正則であるか否か述べよ．

(1) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\vec{x}}$$          (2) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(3) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\vec{x}}$$          (4) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(5) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}\vec{x}}$$          (6) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(7) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -3 & 9 \end{bmatrix}\vec{x}}$$          (8) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(9) $${f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\vec{x}}$$          (10) $${f:\mathbb{R}^2\to\in\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(11) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}\vec{x}}$$      (12) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 5 & 7 & -1 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(13) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\vec{x}}$$      (14) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \\ 1 & -5 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(15) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 \\ -6 & 3 & 9 \\ -4 & 2 & 6 \end{bmatrix}\vec{x}}$$      (16) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(17) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}}$$      (18) $${f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(19) $${f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & -2 & 3 \end{bmatrix}\vec{x}}$$      (20) $${f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(21) $${f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & -... ... 1 & 0 & 1 \\ -2 & 4 & -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(22) $${f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 0 & 1... ... & -1 & -4 \\ 1 & 1 & 4 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 & -2 & -5 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

(23) $${f:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^4; f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 0... ... & -8 & 7 \\ -1 & 2 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & -5 & 5 \end{bmatrix}\vec{x}}$$

問 4.62 (線形変換の像，核，階数，退化次数)   「演習問題 〜 線形写像の表現行列」の 線形写像の像，核，階数，退化次数をそれぞれ求めよ． また，写像が正則であるか否か述べよ．

問 4.63 (合成写像)   線形写像 $f$ の表現行列を $A$ とし， 線形写像 $g$ の表現行列を $B$ とする． 合成写像 $g\circ f$ の表現行列を求めよ．

(1) $${A= \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{bmatrix}}$$, $${B= \begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{bmatrix}}$$          (2) $${A= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -3 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$, $${B= \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & 0 \end{bmatrix}}$$

(3) $${A= \begin{bmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$, $${B= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}}$$

平成20年2月2日