4.12 正則変換と逆変換
定義 4.54 (正則変換) 線形変換が上への 1 対 1 写像であるとき,
を正則変換(regular mappping) という.
注意 4.55 (逆変換) 上への 1 対 1 写像であれば逆変換が存在する. 正則変換は逆変換が存在する線形変換である,と読み替えてもよい.
定理 4.56 (正則変換と正則行列) 線形写像が正則変換であることと,
の表現行列が正則行列であることとは必用十分な条件である.
(証明) (
) 写像
,
,
の表現行列を
,
,
とする. このとき
が成り立つ. 恒等変換の表現行列は単位行列であるから,
のとき
が成り立つ.よってを得る.
注意 4.57 (逆変換と逆行列)が存在することと,
の表現行列
の逆行列
が存在することは等価である.
例 4.58 (正則変換の具体例) 線形写像![]()
の表現行列とその行列式は
である.は正則行列であるから,
は正則変換である.
例 4.59 (正則変換ではない具体例) 射影変換;
の 表現行列とその行列式は
である. よっては正則でないので
もまた正則ではない.
例えば点
と点
を 射影変換
で写すとどちらも点
に写される. 他にも点
を通り軸
に平行な直線上の点は全て
により点
に写される. 逆変換
を考えるとき点
から戻され点は 直線上に無限に存在することになる. よって
は 1 対 1 写像ではない. また,
の任意の点は
により 全て
平面上に写される.
平面は
の部分空間であるので,
は上への写像でもない.
注意 4.60 (核と正則変換) 線形変換が
のとき,
は正則変換ではない. なぜなら,
のすべての元は
に写されるので,
の逆元は存在しない. よって,
は 1 対 1 の写像ではなく,正則変換はない.
平成20年2月2日