5.3 指数関数のテイラー級数

5.3 (指数関数のテイラー級数)  

$\displaystyle e^{x}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$    

(導出) $ f(x)=e^{x}$ とおく. 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=e^{x}\,,\quad f'(x)=e^{x}\,,\quad f''(x)=e^{x}\,,\quad f'''(x)=e^{x}\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(x)=e^{x}$    

となる. 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f(0)=1\,,\quad f'(0)=1\,,\quad f''(0)=1\,,\quad f'''(0)=1\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(0)=1$    

である. よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= \sum_{n=0}...
...frac{1}{n!}x^{n}= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$    

と求まる. べき級数 $ \sum c_{n}(x-a)^n$ の 収束半径 $ r$ を求める. 係数は

$\displaystyle c_{n}=\frac{1}{n!}$    

であるから, 収束半径として

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...o\infty} \left\vert\frac{(n+1)!}{n!}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$    

を得る.

5.4 (指数関数のテイラー級数)   $ e^x$$ x=1$ まわりでのテイラー級数は,

$\displaystyle f(1)=e\,,\quad f'(1)=e\,,\quad f''(1)=e\,,\quad f'''(1)=e\,,\quad \cdots\quad f^{(n)}(1)=e$    

より,

$\displaystyle e^{x}$ $\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$    
  $\displaystyle = e+e(x-1)^2+\frac{e}{2}(x-1)^2+ \frac{e}{6}(x-1)^3+\cdots+ \frac{e}{n!}(x-1)^n+\cdots$    

である. 収束半径は

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...eft\vert\frac{e}{n!}\frac{(n+1)!}{e}\right\vert= \lim_{n\to\infty} (n+1)=\infty$    

である.


平成21年6月1日