5.5 対数関数のマクローリン級数

5.7 (対数関数のテイラー級数)  

$\displaystyle \log(1+x)$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)\,.$    

(導出) $ f(x)=\log(1+x)$ とおく. 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\log(1+x)\,,\quad f'(x)=\frac{1}{1+x}\,,\quad f''(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}\,,\quad f'''(x)=\frac{(-1)(-2)}{(1+x)^3}\,,\quad \cdots$    

となる.一般的には $ n\geq1$ に対して

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \frac{(-1)(-2)(-3)\cdots(-n+1)}{(1+x)^n}= \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$    

と表わされる. 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = (-1)^{n-1}(n-1)!$    

となる. よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$    
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}x^{n}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}$    

と得られる. 収束半径 $ r$ を求める.

$\displaystyle c_{n}$ $\displaystyle = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$    

とおくと,

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ...
...\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) =1$    

と得られる.


平成21年6月1日