5.10 テイラー級数の計算

例 5.17 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x} =1+x+x^2+x^3+\cdots$$

$$\frac{1}{1-x-x^2} = 1+\left(x+x^2\right)+ \left(x+x^2\right)^2+ \left(x+x^2\right)^3+\cdots$$

$$=1+(x+x^2)+(x^2+2x^3+x^4)+(x^3+3x^4+3x^5+x^6)+\cdots$$

$$=1+x+2x^2+3x^3+4x^4+\cdots$$

例 5.18 (テイラー級数の計算例)  

$$(1+x)^{\frac{1}{2}} =1+\frac{1}{2}x+ \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}x^... ...3}\right)}{3!}x^3+ \cdots= 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+\cdots$$

$$\sqrt{1-x} = 1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\cdots$$

$$\sqrt{1-x-x^2} = 1-\frac{1}{2}(x+x^2)-\frac{1}{8}(x+x^2)^2-\frac{1}{16}(x+x^2)^3+\cdots$$

$$= 1-\frac{1}{2}x-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\right)x^2- \left(\... ...{1}{16}\right)x^3+\cdots = 1-\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\cdots$$

例 5.19 (テイラー級数の計算例)  

$$e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}\fr... ...x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n!}$$

より，

$$\sinh x =\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})= \frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^{\infty}... ...{(-1)^n x^n}{n!} \right) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n!}x^n$$

$$\quad(n=2k,n=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$$

$$= \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-(-1)^{2k}}{(2k)!}x^{2k}+ ... ...c{1-(-1)^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$

$$\quad(k\to n-1;n=1,2,3,\cdots)$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots\,.$$

例 5.20 (テイラー級数の計算例)  

$$\cosh x =\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)$$

$$= \frac{1}{2}\left\{\left( 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdot... ...\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3!}+\cdots+ \frac{(-1)^nx^n}{n!}+\cdots\right)\right\}$$

$$= 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$

平成21年6月1日