5.11 割り算によるテイラー級数の計算

例 5.21 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x} = 1+\frac{x}{1-x}= 1+x+\frac{x^2}{1-x}= 1+x+x^2+\frac{x^3}{1-x}$$

$$= 1+x+x^2+x^3+\frac{x^4}{1-x}= 1+x+x^2+x^3+\cdots$$

例 5.22 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{1-x-x^2} = 1+\frac{x+x^2}{1-x-x^2}= 1+x+\frac{2x^2+x^3}{1-x-x^2}= 1+x+2x^2+\frac{3x^3+2x^4}{1-x-x^2}$$

$$= 1+x+x^2+3x^3+\cdots$$

例 5.23 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{\sin x}{1-x} = \frac{\displaystyle{x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}}{1-... ...}}{1-x}= x+x^2+\frac{\displaystyle{\frac{5x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= x+x^2+\frac{5x^3}{6}+\frac{\displaystyle{\frac{5x^4}{6}+\frac{x... ...ac{5x^3}{6}+\frac{5x^4}{6}+\frac{\displaystyle{\frac{101x^5}{120}-\cdots}}{1-x}$$

$$= \cdots= x+x^2+\frac{5x^3}{3!}+\frac{5x^4}{3!}+\frac{101x^5}{5!}+ \frac{101x^6}{5!}+ \frac{4241x^7}{7!}+ \frac{4241x^8}{7!}+ \cdots$$

例 5.24 (テイラー級数の計算例)  

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{\displaystyle{x-\frac{x^3}{6}+\fra... ... {\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots}}= x+\frac{x^3}{3}+\cdots$$

例 5.25 (テイラー級数の計算例)  

$$\frac{1}{x^2+2x-3}= \frac{1}{(x+3)(x-1)}= \frac{1}{4}\left(\frac{... ...= \frac{-1}{4}\frac{1}{1-x}+ \frac{-1}{12}\frac{1}{1-\left(\frac{-x}{3}\right)}$$

$$= \frac{-1}{4}\left(1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots\right)+ \frac{-1}{1... ...)+\left(\frac{-x}{3}\right)^2+ \cdots+\left(\frac{-x}{3}\right)^n+\cdots\right)$$

$$= -\frac{1}{3} -\frac{2}{9}x -\frac{7}{27}x^2-\cdots -\frac{3^{n+1}+(-1)^n}{4\cdot 3^{n+1}} x^{n}-\cdots$$

平成21年6月1日