5.14 オイラーの関係式

注意 5.32 (三角関数と指数関数)   三角関数と指数関数は

$\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\,,\quad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2}$    

の関係にある. これをオイラーの関係式という. ここで $ e^{\pm ix}$ は複素指数関数である. 複素指数関数は複素数 $ z=x+iy$ に対して

$\displaystyle e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}= 1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots$    

と定義される. 右辺は複素べき級数である. この定義より関係式が自然に導出される. このとき $ x=0$ とし $ z=iy$ とおく. すると

$\displaystyle e^{iy}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\,y)^{n}}{n!} = 1+iy+i^2\frac{y^2}{2...
...\frac{y^3}{3!}+ i^4\frac{y^4}{4!}+ i^5\frac{y^5}{5!}+ i^6\frac{y^6}{6!}+ \cdots$    
  $\displaystyle = 1+iy-\frac{y^2}{2}-i\frac{y^3}{3!}+ \frac{y^4}{4!}+ i\frac{y^5}...
...{y^6}{6!}+\cdots\right) +i\left(y -\frac{y^3}{3!} +\frac{y^5}{5!} \cdots\right)$    
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}= \cos y+i\sin y$    

を得る. 同様に $ z=-iy$ とおくと

$\displaystyle e^{-iy}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i\,y)^{n}}{n!}= 1+i(-y)+i^2\frac{(-y...
...}{3!}+ i^4\frac{(-y)^4}{4!}+ i^5\frac{(-y)^5}{5!}+ i^6\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$    
  $\displaystyle = 1+i(-y)-\frac{(-y)^2}{2}-i\frac{(-y)^3}{3!}+ \frac{(-y)^4}{4!}+ i\frac{(-y)^5}{5!} -\frac{(-y)^6}{6!}+ \cdots$    
  $\displaystyle = \left( 1 -\frac{(-y)^2}{2} +\frac{(-y)^4}{4!} -\frac{(-y)^6}{6!}+\cdots\right) +i\left((-y) -\frac{(-y)^3}{3!} +\frac{(-y)^5}{5!} \cdots\right)$    
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-2}y^{2n-2}}{(2n-2)!} +i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(-1)^{2n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}$    
  $\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-2}}{(2n-2)!} -i \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}y^{2n-1}}{(2n-1)!}= \cos y-i\sin y$    

を得る. $ y$$ x$ に置き換えることで,最初の関係式を得る.


平成21年6月1日