5.15 テイラー展開

テイラー級数では関数 $f(x)$ を無限和で表す． 次のテイラー展開では有限項の和で $f(x)$ を表す．

定理 5.33 (テイラー展開)   関数 $f(x)$ が $n+1$ 回微分可能なとき，

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)\,,$$

$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}{(x-a)^{n+1}}\,, \quad \xi=a+\theta(x-a)\quad(0\leq\theta\leq1)$$

が成り立つ． ただし点 $x=a$ は定義内の点である． この展開式を $f(x)$ のテイラー展開（Taylor expansion）と呼ぶ． 特に $a=0$ のときを マクローリン展開（Maclaurin expansion）と呼ぶ． $R_n$ は剰余項（remainder）と呼ばれる．

注意 5.34 (テイラー展開)   点 $\xi$ は 点 $a$ と点 $x$ とを $\theta:1-\theta$ に内分する点である．

定理 5.35 (平均値の定理)   関数 $f(x)$ が $a\leq x \leq b$ で連続で， $a<x<b$ で微分可能ならば，

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}= f'(\xi)\,, \qquad \xi=b+\theta(b-a) \quad (0\leq\theta\leq1)$$

をみたす $\xi$ が存在する．

例 5.36 (テイラー展開の具体例)  

$$e^{x} = 1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+R_{n+1}(x)\,,$$

$$R_{n+1}(x)=\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\quad (0\leq\theta\leq1)$$

例 5.37 (テイラー展開の具体例)  

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1... ...-1}+R_{2n}(x)\,,\qquad R_{2n}(x)= \frac{(-1)^{n}\sin(\theta x)}{(2n)!}x^{2n}\,,$$

$$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1... ..._{2n+1}(x)\,,\qquad R_{2n+1}(x)= \frac{(-1)^{n}\cos(\theta x)}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (0\leq\theta\leq1)$$

平成21年6月1日