5.16 テイラー級数による関数の近似

定義 5.38 (関数の近似)   関数 $ f(x)$ を テイラー級数

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$    

で表わし, $ n$ 次の項で打ち切った関数

$\displaystyle \tilde{f}_{n}(x)$ $\displaystyle = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$    

$ f(x)$$ n$ 次近似と呼ぶ.

具体的に書くと

0 次近似: $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{0}(x)=f(a)$   ← 定数    
$ 1$ 次近似: $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$   ← 直線,接線の方程式    
$ 2$ 次近似: $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$   ← 放物線    
$\displaystyle \qquad\vdots$    
$ n$ 次近似: $\displaystyle \quad f(x)\simeq\tilde{f}_{n}(x)= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}+\cdots$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$   ← $ n$ 次多項式    

と表される. テイラー級数による関数の近似では $ f(x)$ を多項式で近似する.

注意 5.39 (関数の近似)   近似式 $ \tilde{f}_{n}(x)$ は 曲線 $ y=f(x)$ に点 $ x=a$ で接する $ n$ 次多項式である.

5.40 (関数の近似の具体例)  

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$    

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{0}(x)=1$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{1}(x)=1+x$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{2}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{3}(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$    

5.41 (関数の近似の具体例)  

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$    

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{0}(x)=0$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{1}(x)=\tilde{f}_{2}(x)=x$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{3}(x)=\tilde{f}_{4}(x)=x-\frac{x^3}{6}$    
$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle \simeq \tilde{f}_{5}(x)=\tilde{f}_{6}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$    


平成21年6月1日