6.13 2 次式の根号を含む関数の積分～その１

定理 6.67 (根号を含む場合の計算) 関数に $\sqrt{ax^2+bx+c}$ を含む場合を考える．このときまず

$\displaystyle \sqrt{ax^2+bx+c}$

$\displaystyle =t-\sqrt{a}\,x$

とおく．両辺を二乗すれば

$\displaystyle x$

$\displaystyle = \frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\,t}$

を得る．これより

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$

$\displaystyle = \frac{2(\sqrt{a}\,t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(b+2\sqrt{a}\,t)^2}$

となる．このとき不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int f(x)\,dx= \int f\left(\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\,t}\right) \frac{2(\sqrt{a}t^2+b\,t+c\sqrt{a})}{(b+2\sqrt{a}\,t)^2}\,dt$

により求まる．

例 6.68 (根号を含む場合の計算例) 不定積分

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$

を考える．変数変換

$\displaystyle \sqrt{x^2-1}$

$\displaystyle =t-x$

とおく．両辺を二乗すれば

$\displaystyle x$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( t+\frac{1}{t} \right)$

を得る．これより

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)$

となる．よって不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\frac{1}{t-\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)} \frac{1}{... ...int\frac{dt}{t}= \log\vert t\vert+C= \log\left\vert x+\sqrt{x^2-1}\right\vert+C$

と求まる．またこの結果は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \mathrm{Cosh}^{-1}x+C$

とも表される．

例 6.69 (根号を含む場合の計算例) 不定積分

$\displaystyle I$

$\displaystyle =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$

を考える．変数変換

$\displaystyle \sqrt{x^2+1}$

$\displaystyle =t-x$

とおく．両辺を二乗すれば

$\displaystyle x^2+1=t^2+x^2-2tx \quad\Rightarrow\quad x= \frac{t^2-1}{2t}= \frac{1}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right)$

を得る．これより

$\displaystyle \sqrt{x^2+1}=t-x= t- \frac{1}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) = \frac{t^2+1}{2t}, \qquad \frac{dx}{dt}$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)= \frac{t^2+1}{2t^2}$

となる．よって不定積分は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \int\frac{1}{\frac{t^2+1}{2t}} \frac{t^2+1}{2t^2}\,dt= \int\frac{dt}{t}= \log\vert t\vert+C= \log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$

と求まる．またこの結果は

$\displaystyle I$

$\displaystyle = \sinh^{-1}x+C$

とも表される．

例 6.70 (根号を含む場合の計算例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}dx= \int\left(\frac{t^2-1}{2t}\righ... ...rac{1}{4}\int t\,dt- \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}+ \frac{1}{4}\int\frac{dt}{t^3}$
	$\displaystyle = \frac{t^2}{8}- \frac{1}{2}\log\vert t\vert- \frac{1}{8t^2}+C= \... ...\frac{1}{t} \right) \left( t+\frac{1}{t} \right) -\frac{1}{2}\log\vert t\vert+C$
	$\displaystyle = \frac{1}{8}\left( (x+\sqrt{x^2+1})+(x-\sqrt{x^2+1}) \right) \left( (x+\sqrt{x^2+1})-(x-\sqrt{x^2+1}) \right) -\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})+C$
	$\displaystyle = \frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} -\frac{1}{2}\log(x+\sqrt{x^2+1})+C\,.$

ここで，

$\displaystyle \frac{1}{t}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}= \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})}= -(x-\sqrt{x^2+1})$

を用いた．

例 6.71 (根号を含む場合の計算例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}= \int\left(\frac{2t}{t^2-1}\righ... ...t^2+1}{2t^2}dt= \int \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt= 2\int \frac{(t^2-1)'}{(t^2-1)^2}dt$
	$\displaystyle = \frac{-2}{t^2-1}+C= \frac{-2}{(t-1)(t+1)}+C= \frac{-2}{(x-1+\sqrt{x^2+1})(x+1+\sqrt{x^2+1})}+C$
	$\displaystyle = -2 \frac{((x-1)-\sqrt{x^2+1})((x+1)-\sqrt{x^2+1})} {((x-1)^2-(x^2+1))((x+1)^2-(x^2+1))}+C$
	$\displaystyle = -2 \frac{(x-1)(x+1)-(x-1)\sqrt{x^2+1}-(x+1)\sqrt{x^2+1}+(x^2+1)} {(-2x)(2x)}+C$
	$\displaystyle = \frac{1}{2x^2} \left(2x^2-2x\sqrt{x^2+1}\right)+C= 1-\frac{1}{x}\sqrt{x^2+1}+C= -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C\,.$

ここで，最後の式変形では $C+1\to C$ として，定数を任意定数に繰り込んだ．

平成21年6月1日

6.13 2 次式の根号を含む関数の積分 ～ その１

6.13 2 次式の根号を含む関数の積分～その１