6.16 演習 〜 有理式，根号，三角関数の積分

問 6.76 (有理式の積分)   次の不定積分を求めよ．
    (1)   $${\int\frac{dx}{x}}$$     (2)   $${\int\frac{dx}{x^2}}$$     (3)   $${\int\frac{x}{x^2+1}dx}$$     (4)   $${\int\frac{x}{(x^2+1)^2}dx}$$     (5)   $${\int\frac{dx}{x^2+1}}$$     (6)   $${\int\frac{dx}{(x^2+1)^2}}$$
    (7)   $${\int\frac{dx}{(x^2+1)^3}}$$     (8)   $${\int\frac{dx}{ax+b}}$$     (9)   $${\int\frac{dx}{(ax+b)^m}}$$     (10)   $${\int\frac{2(x-a)}{(x-a)^2+b^2}dx}$$
    (11)   $${\int\frac{2(x-a)}{((x-a)^2+b^2)^m}dx}$$     (12)   $${\int\frac{dx}{(x-a)^2+b^2}}$$     (13)   $${\int\frac{dx}{((x-a)^2+b^2)^2}}$$
    (14)   $${\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\,dx}$$     (15)   $${\int\frac{dx}{x^3+1}}$$     (16)   $${\int\frac{x-11}{x^3+1}dx}$$     (17)   $${\int\frac{x^3+4x^2+2x+1}{x^2+3}dx}$$
    (18)   $${\int\frac{dx}{x^2-1}}$$     (19)   $${\int\frac{2}{x(x-1)(x-2)}\,dx}$$     (20)   $${\int\frac{5x-4}{2x^2+x-6}\,dx}$$     (21)   $${\int\frac{7x-1}{x^2-x-6}\,dx}$$
    (22)   $${\int\frac{x^2}{x^2-x-6}\,dx}$$     (23)   $${\int\frac{x^2}{(x-1)^3}dx}$$     (24)   $${\int\frac{dx}{x^2(1-x)^2}}$$     (25)   $${\int\frac{dx}{x^3(1-x)^3}}$$
    (26)   $${\int\frac{x-1}{(2-x)^3}dx}$$     (27)   $${\int\frac{5x+3}{(x+1)(x-1)^2}dx}$$     (28)   $${\int\frac{dx}{x^2+2x+2}}$$     (29)   $${\int\frac{x+2}{x^2+2x+2}dx}$$
    (30)   $${\int\frac{x^3-x+1}{x^2+1}\,dx}$$     (31)   $${\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}}$$     (32)   $${\int\frac{x-1}{(x+1)(x^2+1)}\,\,dx}$$
    (33)   $${\int\frac{2x}{(x-1)^2(x^2+1)}\,dx}$$     (34)   $${\int\frac{x(x^2+3)}{(x^2-1)(x^2+1)^2}\,\,dx}$$     (35)   $${\int\frac{2x^2+4}{(x^2+1)^2}\,dx}$$

問 6.77 (有理式の積分)   $${J_n=\int\frac{dx}{(x^2+1)^n}}$$ は次の漸化式をみたすことを示せ．

$$J_{n+1}=\frac{x}{2n(x^2+1)^n}+\frac{2n-1}{2n}J_n, \qquad n=1,2,3,\cdots$$

問 6.78 (根号を含む積分)   次の不定積分を求めよ．
（ヒント： $t=\sqrt[n]{ax+b}$）
    (1)   $${\int\frac{dx}{x+2\sqrt{x-1}}}$$     (2)   $${\int\frac{dx}{x\sqrt{x-1}}}$$     (3)   $${\int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}}}$$     (4)   $${\int\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}\,dx}$$     (5)   $${\int\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\,dx}$$
（ヒント： $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$）
    (6)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}$$     (7)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$$     (8)   $${\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\,dx}$$     (9)   $${\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}}$$     (10)   $${\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-2x-5}}}$$
（ヒント： ${\sqrt{a(x-\alpha)(\beta-x)}= (x-\alpha)\sqrt{\frac{a(\beta-x)}{x-\alpha}}, t=\sqrt{\frac{a(\beta-x)}{x-\alpha}}}$）
    (11)   $${\int\frac{x}{\sqrt{2-x-x^2}}dx}$$     (12)   $${\int\frac{dx}{(x+1)^2\sqrt{1-x^2}}}$$

問 6.79 (三角関数を含む有理式の積分)   次の不定積分を求めよ．
（ヒント： $t=\tan\frac{x}{2}$）
    (1)   $${\int\frac{dx}{\sin x}}$$     (2)   $${\int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}}$$     (3)   $${\int\frac{dx}{1+\sin x-\cos x}}$$     (4)   $${\int\frac{dx}{1+\cos x}}$$
    (5)   $${\int\frac{dx}{2+\cos x}}$$     (6)   $${\int\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\,dx}$$     (7)   $${\int\frac{\cos x}{4+5\sin x}\,dx}$$     (8)   $${\int\frac{dx}{3-2\sin x}}$$
    (9)   $${\int\frac{dx}{5+3\sin x}}$$     (10)   $${\int\frac{dx}{2+\tan x}}$$     (11)   $${\int\frac{1+\cos x}{(1+\sin x)^2}dx}$$

平成21年6月1日