6.15 三角関数の有理式の積分

三角関数の有理式 $ f(\sin x,\cos x,\tan x)$ の不定積分を考える. まず変数変換として

$\displaystyle t$ $\displaystyle = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$    

とおく. このとき

$\displaystyle \tan x$ $\displaystyle = \tan\left( 2\times\frac{x}{2} \right)= \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= \frac{2t}{1-t^2}$    

となる. 同様にして

$\displaystyle \sin x$ $\displaystyle = \sin\left(2\times\frac{x}{2}\right)= 2\sin\left(\frac{x}{2}\rig...
...\frac{x}{2}\right)= 2\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$    
  $\displaystyle = 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) \frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}= \frac{2t}{1+t^2}\,,$    
$\displaystyle \cos x$ $\displaystyle = \cos\left(2\times\frac{x}{2}\right)= \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)= 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1$    
  $\displaystyle = 2\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}-1= \frac{2}{1+t^2}-1= \frac{1-t^2}{1+t^2}$    

となる.次に $ t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$$ x$ で微分すると

$\displaystyle \frac{dt}{dx}$ $\displaystyle = \left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)'= \frac{1}{2}\frac{1}...
...= \frac{1}{2}\left( 1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\right)= \frac{1}{2}(1+t^2)$    

となるので

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ $\displaystyle = \frac{1}{\frac{dt}{dx}}= \frac{2}{1+t^2}$    

を得る. よって不定積分は

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int f(\sin x,\cos x,\tan x)\,dx= \int f\left( \frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1-t^2} \right) \frac{2}{1+t^2}\,dt$    

により求められる.

6.74 (三角関数を含む場合の積分の計算例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\frac{dx}{\sin x}= \int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1...
... \log\vert t\vert+C= \log\left\vert\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right\vert+C\,.$    

6.75 (三角関数を含む場合の積分の計算例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}= \int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} \frac{2}{1+t^2}dt= \int\frac{2}{2t+2(1-t^2)+3(1+t^2)}dt$    
  $\displaystyle = \int\frac{2}{t^2+2t+5}dt= \int\frac{2}{(t+1)^2+4}dt= \int\frac{...
...2}\right)'}{1+\left(\frac{t+1}{2}\right)^2}dt= \mathrm{Tan}^{-1}\frac{t+1}{2}+C$    
  $\displaystyle = \mathrm{Tan}^{-1}\frac{1}{2}\left( 1+\tan\frac{x}{2}\right)+C\,.$    


平成21年6月1日