6.18 定積分の性質
定理 6.85 (定積分の性質) 定積分は次の性質をもつ:
- (1)
.
- (2)
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のとき
.
- (3)
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のとき
.
- (4)
のとき
.
- (5)
.
- (6)
.
- (7)
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(証明) (1)
.
(2)
.
(3)
.
(4) 分割を
とおき,
(5) 分割はのままだが, 矩形の底辺に向きを与える. これを
とおく. このとき,
が成り立つ. よって,
(6) 底辺の長さが 0 なので,面積は明らかに 0.
(7)
.
定理 6.86 (中間値の定理) 関数が区間
で連続で
であるとき,
をみたす任意の
に対して,
となる点
(
) が存在する.
定理 6.87 (定積分の性質)に対して
をみたす
が存在する.
(証明)
のとき
が成り立つ.,
より中間値の定理より
をみたすが存在する.
平成21年6月1日