6.18 定積分の性質

定理 6.85 (定積分の性質)   定積分は次の性質をもつ：

(1)

$${\int_{a}^{b}(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x))\,dx= \alpha\,\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\beta\,\int_{a}^{b}g(x)\,dx}$$.

(2)

$${f(x)\ge0}$$ $(a\leq x\leq b)$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq0}$$.

(3)

$f(x)\geq g(x)$ $(a\leq x\leq b)$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq\int_{a}^{b}g(x)\,dx}$$.

(4)

$a<c<b$ のとき $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx}$$.

(5)

$${\int_{b}^{a}f(x)\,dx= -\int_{a}^{b}f(x)\,dx}$$.

(6)

$${\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0}$$.

(7)

$${\left\vert\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right\vert\leq\int_{a}^{b}\vert f(x)\vert\,dx}$$

（証明）     (1) $\sum_{k}(\alpha f(\xi_k)+\beta g(\xi_k))\Delta x_k= \alpha\sum_{k} f(\xi_k)\Delta x_k+ \beta \sum_{k} g(\xi_k)\Delta x_k$.

(2) $\sum_{k}f(\xi_k)\Delta x_k\ge 0$.

(3) $\sum_{k}f(\xi_k)\Delta x_k\ge \sum_{k}g(\xi_k)\Delta x_k$.

(4) 分割を $a=x_0<x_1<\cdots<x_{m}=c<x_{m+1}<\cdots<x_{n}=b$ とおき，

$$\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k= \sum_{k=1}^{m}f(\xi_k)\Delta x_k+ \sum_{k=m+1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k.$$

(5) 分割は $a=x_0<x_1<\cdots<\cdots<x_{n}=b$ のままだが， 矩形の底辺に向きを与える． これを $\widetilde{\Delta}x_{k}=x_{k-1}-x_{k}$ とおく． このとき， $\widetilde{\Delta}x_{k}=x_{k-1}-x_{k}=-(x_{k}-x_{k-1})=-\Delta x_k$ が成り立つ． よって，

$$\int_{b}^{a}f(x)\,dx= \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\wid... ... -\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_{k}= -\int_{a}^{b}f(x)\,dx\,.$$

(6) 底辺の長さが 0 なので，面積は明らかに 0.

(7) $\vert\sum_{k}f(\xi_k)\Delta x_k\vert\le \sum_{k}\vert f(\xi_k)\vert\Delta x_k$.

定理 6.86 (中間値の定理)   関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続で $m\le f(x)\le M$ であるとき， $m<\mu<M$ をみたす任意の $\mu$ に対して， $\mu=f(x)$ となる点 $x=c$ ($a<c<b$) が存在する．

定理 6.87 (定積分の性質)   $a<b$ に対して $${\int_{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)}$$ をみたす $c\in(a,b)$ が存在する．

（証明）     $m\leq f(x)\leq M$ のとき

$$\int_{a}^{b}m\,dx\leq \int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int_{a}^{b}M\,dx \quad\Rightarrow\quad m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)$$

$$\quad\Rightarrow\quad m\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M \quad\Rightarrow\quad m\leq\mu\leq M,\quad \mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

が成り立つ． $m\leq\mu\leq M$, $m\leq f(x)\leq M$ より中間値の定理より

$$f(c)=\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

をみたす $c$ が存在する．

平成21年6月1日