6.19 定積分と不定積分

定理 6.88 (定積分と不定積分の関係)   定積分

$$S(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$$

に対して

$$\frac{dS}{dx}= \frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(t)\,dt= f(x)$$

が成り立つ．

（証明）     関数 $f(x)$ は連続関数であれば区間 $I=[x,x+h]$ において

$$m\le f(x)\le M, \quad m=\min_{x\in I}f(x), \quad M=\max_{x\in I}f(x)$$

をみたす．全辺を区間 $I$ で定積分すれば，

$$\int_{x}^{x+h} m\,dt \le \int_{x}^{x+h}f(t)\,dt \le \int_{x}^{x+h} M\,dt \quad\Rightarrow\quad hm \le \int_{x}^{x+h}f(t)\,dt \le hM$$

$$\quad\Rightarrow\quad m \le \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt \le M$$

が成り立つ． 中辺は

$$\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)\,dt= \frac{1}{h}\left( \int_{x}^{0}... ...\right)= \frac{1}{h}\left( \int_{0}^{x+h}f(t)\,dt- \int_{0}^{x}f(t)\,dt \right)$$

$$= \frac{S(x+h)-S(x)}{h}$$

となるので，不等式は

$$m \le \frac{S(x+h)-S(x)}{h} \le M$$

となる． $h\to0$ の極限においては $m\to f(x)$, $M\to f(x)$, $${\frac{S(x+h)-S(x)}{h}\to\frac{dS}{dx}}$$ であるから， $${\frac{dS}{dx}=f(x)}$$ を得る．

注意 6.89 (定積分と不定積分の関係)   関数 $f(x)$ の不定積分から得られる原始関数の一つを $F(x)$ とすると，

$$S'(x)=f(x) \quad\Rightarrow\quad S(x)=\int f(x)dx+C= F(x)+C$$

が成り立つ． 面積 $S(x)$ は $F(x)+C$ で与えられるが， 実際上は $C$ には任意性があるため， この式では $S(x)$ の値は定まらない．

定理 6.90 (定積分と不定積分の関係)   関数 $f(x)$ の不定積分から得られる原始関数の一つを

$$F(x)=\int f(x)\,dx$$

とする．このとき $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分は

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)= \Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(x)\Big\vert _{x=a}^{x=b}$$

と表される．

（証明）    

$$\int_{a}^{b}f(t)\,dt= \int_{0}^{b}f(t)\,dt- \int_{0}^{a}f(t)\,dt= S(b)-S(a)= (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)\,.$$

例 6.91 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}\alpha\,dx= \alpha\int_{a}^{b}\,dx= \alpha\Big[x\Big]_{a}^{b}= \alpha(b-a)\,.$$

これは長方形の面積を表す．

例 6.92 (定積分の計算例)  

$$\int_{a}^{b}x\,dx= \left[\frac{x^2}{2}\right]_{a}^{b}= \frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}= \frac{1}{2}(b^2-a^2)= \frac{1}{2}(b-a)(b+a)\,.$$

これは台形の面積を表す．

例 6.93 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1}x^5\,dx= \left[\frac{x^6}{6}\right]_{0}^{1}= \frac{1}{6}-\frac{0}{6}= \frac{1}{6}.$$

例 6.94 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx= \Big[\sin x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0= 1-0=1\,.$$

例 6.95 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$$

例 6.96 (定積分の計算例)  

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\sinh^{-1}(x)}\,\right]_{0}^{1}= \sinh^{-1}(1)-\sinh^{-1}(0)$$

$$= \log(1+\sqrt{1^2+1})- \log(0+\sqrt{0^2+1})= \log(1+\sqrt{2})\,.$$

平成21年6月1日